３重積分の問題の解き方が分かりません

∫∫ ∫Dlog(x＾2 + y＾2 + z＾2)/√(x＾2 + y＾2 + z＾2)dxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3| x＾2 + y＾2 + z＾2 ≤ 4, y ≥ 0}
これはどうやって解いたらいいですか
rcosθとかに置き換えるんでしょうか

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/04 21:03

＞ NO2はｘ、ｙ、ｚを何に置き換えたか教えていただきたいです

球面座標だと書いたし、ヤコビ行列も見せた。
これで判らないのは問題だと思うけれど。

要するに、
x = r cosθcosφ,
y = r cosθsinφ,
z = r sinθ.

この回答へのお礼

ありがとうございます
私の教科書だとz = r cosθけいさんしてる問題があったので勘違いしてました

お礼日時：2021/02/05 11:45

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/02 14:26

＞ φの文字はどこから出てきましたか

別にφじゃなくても、 x, y, z 以外の変数名なら何でもいいんだけど。
「球面座標」を google すれば、いろんなとこに書いてあるよ。
r が原点からの距離、θ が緯度、φ が経度を表している。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
NO2はｘ、ｙ、ｚを何に置き換えたか教えていただきたいです

お礼日時：2021/02/04 18:16

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/01 10:18

原点からの距離

　　r = √(x＾2 + y＾2 + z＾2)
以外は何も出てこない、つまり「原点から見てどっち向きか」は関係ないじゃんか、と気づけば、真面目に極座標を考えるまでもなく、単位球面の（y ≥ 0なので）半分をHとして、H上の微小面積s（steradian)について、問題の積分は
　　 (∫_H ds) ∫{r=0〜2} ((log(r^2))/r)(r^2)dr
ここに
　　∫_H ds= 4π/2
だ、とわかるでしょう。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/01 09:34

球面座標のヤコビアンを確認。

ヤコビ行列が
　　cosθcosφ　　-r sinθcosφ　　-ｒcosθsinφ
　　cosθsinφ　　 -r sinθsinφ　　 rcosθcosφ
　　sinθ　　　　　r cosθ　　　　　0
だから、ヤコビ行列式は
　　r^2 cosθ.
あと、D は球面座標で
　　0 ≦ ｒ ≦ 2, -π/2 ≦ θ ≦ π/2, 0 ≦ φ ≦ π.
これを使って、

S = ∫∫∫[D] log(x^2 + y^2 + z^2)/√(x^2 + y^2 + z^2) dxdydz
= ∫∫∫[D] log(r^2)/r ｜r^2 cosθ｜drdθdφ
= 2∫∫∫[D] (r log r)cosθ drdθdφ
= 2∫[0≦ｒ≦ 2] (r log r) dr ∫[-π/2≦θ≦π/2] cosθ dθ ∫[0≦φ≦π] dφ,

∫[0≦ｒ≦2] (r log r) dr
= [ r^2 log r ]_(r=0,2) - ∫[0≦ｒ≦2] r^2/r dr
= { 4log2 - 0 } - [ (1/2)r^2 ]_(r=0,2)
= 4log2 - (1/2){ 4 - 0 }
= 4log2 - 2,

∫[-π/2≦θ≦π/2] cosθ dθ
= [ sinθ ]_(θ=-π/2,π/2)
= { 1 - (-1) }
= 2,

∫[0≦φ≦π] dφ
= [ φ ]_(φ=0,π)
= { π - 0 }
= π

より
S = (4log2 - 2)・2・π
= 4π(2log2 - 1).

この回答へのお礼

ありがとうございます。
φの文字はどこから出てきましたか

お礼日時：2021/02/02 11:40

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/31 19:40

球面座標がいいんじゃないの？

x = r cosθ cosφ,
y = r cosθ sinφ,
z = r sinθ
で置換積分する。