微分方程式について質問です。 dT/dt =α[(d^2T/dx^2)+ (d^2T/dy^2)]

微分方程式について質問です。
dT/dt =α[(d^2T/dx^2)+ (d^2T/dy^2)] ,
T = T(x,y,t) , αは定数とした時、上の微分方程式はどの様に解いていくべきでしょうか？
ご教授お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/06/07 12:17

No.2へのコメントについて。

> 初期値問題について教科書、ネット等で調べて

　それはポイントを外している。いわば、オムレツの作り方を知ろうとしてフライパンについて調べようとおっしゃってるみたいな。
　「初期値問題」ってのは「時刻t=0においてTがどんな格好の関数であるか」が指定されている、という種類の境界値問題のことですけれども、それにどうアタックするか（あるいは歯が立たないか）は微分方程式によって千差万別。ですから、熱伝導方程式そのものについて調べないとダメす。
　ご質問では空間2次元(x,y)についての方程式になっていますが、実は何次元でも同じことで、ですから、まずは1次元（yは無視）で勉強なさるのがいいでしょう。

　こちらもご参考に：　https://oshiete.goo.ne.jp/qa/775723.html


> なかなか複雑で難しい

　本質的な仕掛けは、さほど複雑じゃありません。

(1) 熱伝導方程式は線形。すなわち、もしTとUが解なら、aT+bU （a,bは任意の複素数）も解である[重ね合わせの原理]。

　この方程式が線形なのは、そもそも微分が線形演算だからです。

(2) グラフが描けるような大抵の関数は、いろんな波長・振幅・位相を持つsine波たちの和（sine波たちが無限個あれば、積分）として表せる。これをやるのがフーリエ変換。(No.2の2つ目の式。）

　フーリエ変換は、もともとジョゼフ・フーリエが熱伝導方程式（伝熱方程式、熱方程式、拡散方程式とも）を解く手段として開発したんです。熱伝導方程式を知りたければフーリエ変換（ついでに、その他の直交変換）を勉強する必要があるわけですが、勉強する値打ちは大いにある。というのは、フーリエ変換の応用対象は熱伝導方程式にとどまらず、（あらゆる波動・振動現象の解析、波動の伝送路の解析、信号・画像の処理、データ圧縮法、アナログ電子回路や光学レンズの設計などなど）はるかに広い。ってか、「普段フーリエ変換をガシガシ使いこなしているけれど、熱伝導方程式にも使えるだなんて初耳」という人の方が多いかもしれない。

(3) 熱伝導方程式において、Tが時刻0においてsine波の形をしていると、以後、波の形は同じまま、その振幅だけが指数関数的に小さくなっていく。

　No.2の最初の式をちょっと書き換えると
　　f(ξ,υ; x,y,t) = exp(-(ξ^2 + υ^2)t) exp(i ξ x) exp(i υ y)
つまり、
　指数関数的減衰を表すexp(-(ξ^2 + υ^2)t)と、
　xに関する三角関数 exp(i ξ x) （= cos(ξ x) + i sin(ξ x)）と、
　yに関する三角関数 exp(i υ y)（=cos(υ y) + i sin(υ y)）
の積になってます。だから、空間的な波形を表すexp(i ξ x) exp(i υ y) の部分は時刻tが幾らであっても変化しない。ただ振幅が指数関数的に減衰するだけ。
　この減衰の時定数は1/(ξ^2 + υ^2)なので、波長(2π/ξ, 2π/υ)が短いほど速く減衰することがわかります。これは「t=0の時にTにあった鋭い段差やデコボコが、tが進むとどんどんぼやけて消えていく」ってことです。

この回答へのお礼

おっしゃる通り余り熱伝導方程式について理解できていないので、まずは1次元についてしっかりと理解した上で取り組んでいきたいと思います。その上でご回答いただいた内容を参考にさせて頂きます。ありがとうございました。

お礼日時：2021/06/07 22:03

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/06/06 22:04

No.2 チョンポ修正です。

誤：（積分は定積分で(ξ,υ)∈C×C）

正：（積分は定積分で(ξ,υ)∈R×R）

F(ξ,υ)∈C と書こうとして血迷ったらしい。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/06/06 21:18

(x,y)がR×Rで定義される初期値問題だとしてみると：

　　f(ξ,υ; x,y,t) = exp(-(ξ^2 + υ^2)t + i(ξx + υy))
とおくとfは方程式の解になっている。そして方程式は線形なので、初期条件 T(x,y,0)を
　　T(x,y,0) ＝ ∫∫F(ξ,υ) f(ξ,υ; x,y,0) dξdυ （積分は定積分で(ξ,υ)∈C×C）
と表すFが得られれば
　　T(x,y,t) ＝ ∫∫F(ξ,υ) f(ξ,υ; x,y,t) dξdυ （積分は定積分で(ξ,υ)∈C×C）
が解であることは明らか。で、T(x,y,0)の右辺の積分は２次元逆フーリエ変換に他ならないから、T(x,y,0)を２次元フーリエ変換したのがF(ξ,υ)。
　もし(x,y)が矩形の範囲だけで定義されている初期値問題なら、ξ, υが離散化されて積分のところが総和になり、つまり２次元フーリエ級数になる。もっとややこしい条件が付いているのなら、そりゃややこしくなる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なかなか複雑で難しいですね。初期値問題について教科書、ネット等で調べて取り組んでみます。
ありがとうございました。

お礼日時：2021/06/07 09:47

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2021/06/06 08:25

2次元の熱伝導方程式ですかね。

ま，何の物理現象かはともかく。「べき」とは言いませんが，大学工学系の３年生くらいで習うのはフーリエ級数解。つまり，まずこれを変数分離してxに関する方程式から固有関数と固有値を求めます。それには境界条件が必須です。あとは，この固有関数（無数に存在する）の級数で解を表してtに関する解を求める。日本語の本で優れたものをしりませんが，Fourier, boundary value problem などで検索して出てくる英文の教科書に丁寧な説明があります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

変数分離にする方法についてなのですが、Tはx,y,tによって決められる値で、どの様にして変数分離の形に持っていくのかご教授いただけますでしょうか？

お礼日時：2021/06/06 13:03