部分積分の問題教えてください。

自然数nに対してCn:=∫dθ／cosnθとおくとき,
以下の問に答えよ:
(a)C3をC1を用いて表せ.ただし,途中の計算で置換積分を使用しないこと(
(b)C1を頑張って求めよ.

質問者からの補足コメント

• 

  問題の答えをお知らせください。

    補足日時：2021/08/13 20:13

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2021/08/13 20:03

問題を教えろって、

それが問題ですが・・・。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/13 22:28

C₃ = ∫dθ/cos(3θ)

　= ∫dθ/((4cosθ)³ - 3cosθ)
　= ∫{ (4/3)(cosθ)/(4(cosθ)^2 - 3)) - (1/3)/cosθ }dθ
　= (4/3)∫(cosθ)dθ/(4(cosθ)^2 - 3)) - (1/3)∫dθ/cosθ
　= (4/3)∫ds/(4(1 - s^2) - 3)) - C₁　　； s = sinθ で置換
　= (4/3)∫ds/(1 - 4s^2) - C₁
　= (2/3)∫{ 1/(2s + 1) - 1/(2s - 1) }ds - C₁
　= (2/3){ log(2s + 1) - log(2s - 1) + A } - C₁　　； A は定数
　= (2/3) log( (2sinθ + 1)/(2sinθ - 1) ) + A₀ - C₁　　； A₀ = (2/3)A
A は積分定数。 あるいは、
問題文中の ∫ に何か積分範囲がついているのであれば、それなりに。

C₁ = ∫dθ/cosθ
　= ∫(cosθ)dθ/(cosθ)^2
　= ∫ds/(1 - s^2)
　= ∫ds/(1 - s^2)
　= (1/2) ∫{ 1/(s + 1) - 1/(s - 1) }ds
　= (1/2){ log(1 + s) - log(1 - s) } + B　　； B は定数
　= (1/2) log( (1 + sinθ)/(1 - sinθ) ) + B₀　　； B₀ = (1/2)B
B も積分定数だ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/13 22:30

＞ 置換積分を使用しないこと

という不自然な指定がなければ、
C₃ = ∫dθ/cos(3θ)
　= ∫(1/3)dφ/cosφ
から C₁ の計算だけで済む。