数I 2次関数の問題です aは正の定数とする。2次関数y=-x^2+2x(0<=x<=a)の最大値

数I 2次関数の問題です
aは正の定数とする。2次関数y=-x^2+2x(0<=x<=a)の最大値
最小値を求めよ。またそのときのxの値を求めよ。
教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2021/09/11 14:54

y=-x²+2x=-x(x-2)=0 とすれば、x=0, 2 。

一方 y=-x²+2x=-(x²-2x)=-(x-1)²+1 。
上記 平方完成が 出来なければなりません。
これに依って 問題の 2次関数のグラフは、
上に凸で 軸が x=1 頂点座標が (1, 1) で、
x 軸との交点座標が (0, 0) ; (2, 0) となります。

0≦x≦a の範囲内に 軸がある場合、
最大値は 頂点座標と同じになります。
最小値は 軸からより離れた x の値のときの y の値になります。

0<a<1 のとき 最大値は x=a のときで y=-a²+2a 。
最小値は x=0 のときで y=0 。

1≦a<2 のとき 最大値は x=1 で y=1 。
最小値は x=a のときの y の値で y=-a²+2a 。

a=2 のとき 最大値は x=1 で y=1 。
最小値は x=0 又は x=2 で y=0 。

2≦a のとき 最大値は x=1 で y=1 。
最小値は x=a で y=-a²+2a 。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2021/09/11 17:26

本題からは外れますが「≦」「≧」と言う記号は出せませんか? ちなみに私のスマホでは「きごう」または「すうがく」を変換すると出て来ます。

本題に戻ると、元の式を

y=-(x-a)^2+b

と変形すると、座標(a,b)が放物線の頂点(と言う表現が数学的に正しいのか知りませんが)の座標です。後はxやyの変域から具体的な最大値や最小値を見ます。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/09/11 13:02

この手の問題は、その二次関数のグラフを書いてみて、

「頂点の位置（あるいは「軸」の位置）」と「定義域（x の範囲）」の関係から、場合分けをして判定します。

「場合分け」が必須ですから、面倒くさがらずにやらないといけません。
「一発回答」は無理です。

質問の場合には
　y = -x^2 + 2x
　　= -(x^2 - 2x + 1) + 1
　　= -(x - 1)^2 + 1
ですから
・上に凸の放物線
・頂点は (1, 1)
・軸は x=1
ということが分かります。

グラフを書いてみれば分かりますが、
(a) 頂点（軸）が「0≦x≦a」の範囲内にあれば、そこで「最大」
　最小は、放物線が「0≦x≦a」の端点をとおる x=0 か x=a のどちらか。

　どちらの端点かは、軸の位置で決まる。
(a-1) 軸が「0≦x≦a」の中心より左寄りにあれば x=a で最小
(a-2) 軸が「0≦x≦a」の中心より右寄りにあれば x=0 で最小。

(b) 頂点（軸）が「0≦x≦a」の範囲内になければ、最大も最小も、放物線が「0≦x≦a」の端点をとおる x=0 か x=a のどちらか。
(b-1) 軸が「0≦x≦a」の範囲よりも左側にあれば x=0 で最大、 x=a で最小。
(b-2) 軸が「0≦x≦a」の範囲よりも右側にあれば x=0 で最小、 x=a で最大。

（この問題の場合には、x の定義域が「0≦x≦a」で、軸が x=1 なので、(b-1) のケースは考えなくてよい）

あとはこれに数値をあてはめていくだけ。

(a) 頂点（軸）が「0≦x≦a」の範囲内にあるとき、つまり
　1≦a 　　　　　①
のときには
・x=1 で最大、最大値は y=1

最小値の方は、場合分けが必要。
(a-1) 軸が「0≦x≦a」の中心、つまり x=a/2 より左寄りにある、つまり
　1≦a/2 → 2≦a
のとき
・x=a で最小、最小値は y = -a^2 + 2a

(a-2) 軸が「0≦x≦a」の中心、つまり x=a/2 より右寄りにある、つまり
　a/2≦1 → (1≦)a≦2
のとき（カッコ内は、そもそも①の条件があるから）
・x=0 で最小、最小値は y=0

次に
(b) 頂点（軸）が「0≦x≦a」の範囲外にあるときには、さらに細かく条件分けをして

(b-2) 軸が「0≦x≦a」の範囲よりも右側にあるとき、つまり
　(0<)a≦1
のとき（「a は正の定数」と指定されている）
・x=0 で最小、最小値は y=0
・x=a で最大、最大値は y = -a^2 + 2a

上にも書いたよう、軸が「x の定義域」よりも左側に来ることはないので、(b-1) のケースは考える必要がない。


以上を整理して、
2≦a のとき
・x=1 で最大、最大値は y=1
・x=a で最小、最小値は y = -a^2 + 2a

1≦a≦2 のとき
・x=1 で最大、最大値は y=1
・x=0 で最小、最小値は y=0

0<a≦1 のとき
・x=a で最大、最大値は y = -a^2 + 2a
・x=0 で最小、最小値は y=0

等号は場合分けのどっちに付けてもよいし、x=1, 2 ではどちらも成り立つので、どのように書いてもよいと思います。
ただし、採点者によっては「場合分けは重ならないようにせよ」という几帳面な人がいるかもしれないので、場合分けのどちらかを「≦」に、他方を「<」にした方が安全かもしれません。