x=√2cosθ y=√2sinθと置き、解くことは出来ませんか？

x=√2cosθ y=√2sinθと置き、解くことは出来ませんか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/15 17:14

←No.3

＞ x = (√2)cosθ
＞ y = (√2)sinθ
＞ とおけば
＞　x^2 + y^2 = 2cos^2(θ) + 2sin^2(θ) = 2
＞ が成り立ちます。

は、定番の減点ポイント。
そうではなくて、
x^2 + y^2 = 2 上の点は全て
　x = (√2)cosθ,
　y = (√2)sinθ　(0≦θ<2π)
と表すことができる。
...としなくては、ロジックが通らない。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/09/15 12:57

No.2 です。

自分でやってみたのかどうかわかりませんが

x = (√2)cosθ
y = (√2)sinθ

とおけば
　x^2 + y^2 = 2cos^2(θ) + 2sin^2(θ) = 2
が成り立ちます。

このとき
　2x + y = (2√2)cosθ + (√2)sinθ
= (√10)[(2/√5)cosθ + （1/(√5)sinθ]　　　①
と書けます。
ここで
　sinA = 2/√5
　cosA = 1/√5
となる角度 A を使えば
　0<A<π/2
であり

① = (√10)[sinA･cosθ + cosA･sinθ]
　= (√10)sin(θ + A)

これにより、
　θ + A = π/2 のとき、最大値 √10
　θ + A = (3/2)π のとき、最小値 -√10
となることが分かります。

最大となるときの x, y の値は、
　x = (√2)cos(π/2 - A) = (√2)sinA = (2√2)/√5 = (2√10)/5
　y = (√2)sin(π/2 - A) = (√2)cosA = (√2)/√5 = (√10)/5

最小となるときの x, y の値は、
　x = (√2)cos[(3/2)π - A] = -(√2)sinA = -(2√2)/√5 = -(2√10)/5
　y = (√2)sin[(3/2)π - A] = -(√2)cosA = -(√2)/√5 = -(√10)/5

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/09/15 09:20

自分でやってみたのですか？

やってみて解けたのなら「解ける」ということです。

No.1 回答者： akari31 回答日時： 2021/09/15 07:15

解くことは出来ませんか？

三角関数の合成を使えば出来ます。

他に、ベクトルの内積を使っても解けます。