一次不定方程式 ミスの原因を教えてください。

例えば、3x+4y=3の整数解を求めよと言う問題を解くとき、

まず、3x+4y=1の特殊解がx=-1,y=1なので、
　　　3x+4y=1の整数解全ては、x=4k-1,y=-3k+1(kは整数)で表されるから、
3x+4y=3の整数解全ては
x=3(4k-1),y=3(-3k+1)
つまり、x=12k-3,y=-9k+3である。

と書いたところ間違いでした。
上の答えだと全ての整数解を表すことが出来ないというのは、なんとなく分かるのですが
その理屈が分かりません。
教えてください。

質問者からの補足コメント

• すいません
  私が聞きたいのは、
  ax+by=1の一般解を求めて、
  ax+by=cの解はそれをc倍したらなぜダメかと言うことです。

    補足日時：2021/11/17 06:46

No.5 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/11/17 21:05

3x+4y=1…①

整数解は、
x=4k-1
y=-3k+1
(kは整数)

①の両辺を3倍すると、
3(3x)+4(3y)=3
X=3x , Y=3y とおくと、
3X+4Y=3 より、
X=3x=3(4k-1)=12k-3
Y=3y=3(-3k+1)=-9k+3

これより、
3x+4y=3…②
整数解は、
x=12k-3
y=-9k+3
(kは整数)

以上のような解法だと思われますが、質問に書かれているとおりで、
この解法だとすべての整数解を求めることができません。

①を満たすx、yで整数でないものでも3倍することで整数になるものは
②の整数解になりますが、①の整数解をもとに②の整数解を求めると
このような解が求まりません。
例えば、x=1/3 , y=0 は①を満たしますが整数解ではありません。
これを3倍した x=1 , y=0 は②の整数解です。
このような解が求まらないのでこの解法はダメということです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
納得いたしました。

お礼日時：2021/11/17 22:44

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/17 16:05

一般解をc倍するんじゃなくて、

特殊解をｃ倍するんだよ。

3x+4y=1 の特殊解のひとつが x=-1, y=1 なので、
3(1)+4(-1)=1 の両辺を 3 倍すると 3(3)+4(-3)=3.
これで、3x+4y=3 の特殊解がひとつ見つかったことになる。

3x+4y=3 と 3(3)+4(-3)=3 を引き算すれば 3(x+3)+4(y-3)=0.
大切なのは、ここで右辺が =0 になることだから！

移項して 3(x+3) = -4(y-3) と書けば、両辺が 3 の倍数かつ 4 の倍数
であることが判るから、3(x+3) = -4(y-3) = 12k {kは整数} と置くことができて、
x = 4k-3, y = -3k+3 と解くことができる。　←[1]


あなたの答案は、3x+4y=1 の一般解が x=4k-1, y=-3k+1 {kは整数}
だと判ったところから
3x+4y=3 の一般解が x=3(4k-1), y=3(-3k+1) だろうと　←[2]
思ったところまでの間に理由の繋がりが無いのが問題点。
数学では、根拠のないことをしても意味がない。(これは重要なこと)

3x+4y=1 に x=4k-1, y=-3k+1 を代入すると必ず成立するので、
そこだけ調べると間違いに気づきにくいが、
[1] の一般解には (x,y) = (1,0) のようなものも含まれ、
それは [2] の解には含まれていない。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
何度もごめんなさい。
[1]の一般解のは (x,y) = (1,0) のようなものも含まれ、
それは [2] の解には含まれていない。

という理由を教えていただけないでしょうか？

お礼日時：2021/11/17 21:06

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/11/17 14:44

＞③の移項間違ってませんか？

どこが？ 3(x+1)-4(y-1)=0 → 3(x+1)=4(y-1) ・・・③
x+1=n, y-1=m とすれば、
3n-4m=0 から -4ｍ を 右辺の移項して 3n=4m ですよね。
元に戻して 3(x+1)=4(y-1) ですよ。

＞ax+by=cの解はそれをc倍したらなぜダメかと言うことです

それで 良いですよ。
今回の場合は 3x+4y=1 ですから、c=1 ですよ。
落ち着いて 計算しましょうね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/11/17 21:03

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/11/16 23:32

なぜ x が 3 の倍数でなければならないのですか?

この回答へのお礼

確かに、よく分かりません。

お礼日時：2021/11/17 06:50

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/11/16 21:37

「3x+4y=1の特殊解がx=-1,y=1なので」← これは 正しいです。

※ 掛けるの記号 x は アルファベットの x と区別がつきませんので、
　　掛けるの記号を * で表します。
3x+4y=1 ・・・①
3*(-1)+4*1=1 ・・・②
①-② → 3(x+1)-4(y-1)=0 → 3(x+1)=4(y-1) ・・・③
3 と 4 は互いに素ですから x+1 は 4 の倍数で、
任意の整数を k とすると x+1=4k となります。
これを ③ の代入して y-1=3k となります。
従って、x=4k-1, y=3k+1 が 答えになります。

あなたの計算で (-3k+1) はどこから出てきたの？

この回答へのお礼

③の移項間違ってませんか？

お礼日時：2021/11/17 06:45