2次元座標系の変換に関する質問です

x=r*cos(θ)
y=r*sin (θ)

そのJacobian J は:
J= cos(θ) -r*, -sin (θ); sin(θ), r* cos(θ)
Q1）ヤコビアンJは、直角座標系と極座標系の転換に利用出来ないでしょうか
もし出来れば、その数式をお教え頂けますと大変有難いです。

以上、宜しくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/18 09:41

No.3補足

a=tanb →b=arctan(a)
(d/da)arctan(a)=db/da=1/(da/db)=1/(1/(cosb)^2)
=1/(1+(tanb)^2)=1/(1+a^2)

合成関数の微分を使えば
∂θ/∂x=(d/dx)arctan(y/x)=[1/(1+(y/x)^2)](-y/x^2)=-y/(x^2+y^2)
∂θ/∂y=(d/dy)arctan(y/x)=[1/{1+(y/x)^2}](1/x)=x/(x^2+y^2)

この回答へのお礼

毎度お世話になります。
御回答頂いた内容について、手計算でもやっていますが
Octaveのsymsも使用して、偏微分をやっています。
回答有難う御座いました

お礼日時：2021/12/18 11:17

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/17 20:34

>直角座標系のヤコビ行列はどのように

∂r/∂x ∂r/∂y
∂θ/∂x ∂θ∂y
のことだろうか
デカルト座標の変位を極座標の変位に
変換する行列

r=√(x^2+y^2) 、θ=arctan(y/x)
を偏微分するだけ

=
x/√(x^2+y^2) y/√(x^2+y^2)
-y/(x^2+y^2) x/(x^2+y^2)

ヤコビアンは 1/√(x^2+y^2)=1/r

極座標の変位をデカルト座標の変位
に変換するヤコビ行列の逆行列とわかっているので
cosθ sinθ
-sinθ/r cosθ/r

これに
cosθ=x/√(x^+y^2)
sinθ=y/√(x^2+y^2)
r=√(x^2+y^2)

を入れても同じものが求まります。

この回答へのお礼

お世話になります。
考えてみなす。
回答有難う御座いました。

お礼日時：2021/12/18 08:49

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/17 04:14

rについた*はなんだろう？

極座標のヤコビ行列は

∂x/∂r ∂x/∂θ
∂y/∂r ∂y/∂θ
=
cosθ -rsinθ
sinθ rcosθ

ヤコビアンはこれの行列式なので
cosθ・rcosθ-(-rsinθ)・sinθ=r

応用として面積分の面積素 dxdyを
rdrdθ に変数変換する

などが有ります。

この回答へのお礼

お世話になります。
＞極座標のヤコビ行列は
∂x/∂r ∂x/∂θ
∂y/∂r ∂y/∂θ
=
cosθ -rsinθ
sinθ rcosθ
＜ーーとすれば、直角座標系のヤコビ行列はどのように
なりますか？
以上、宜しくお願いします。

お礼日時：2021/12/17 09:51

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/16 10:49

当然できます。

下記など、いろいろなサイトに解説があります。
↓
https://manabitimes.jp/math/1209
https://eman-physics.net/math/calculus04.html