高校物理問題教えてください2

楕円軌道の問題
半径Rの地球から、地球の中心から距離3Rの円軌道に人工衛星を2段階操作で打ち上げる。
まず、地球を１つの焦点として点Pで地表に、点Qで半径3Rの円軌道に接する楕円軌道に乗せ
次に、点Qで円軌道に移行させる。地表での重力加速度の大きさをｇとする。

楕円軌道上を動くとき点Pの速さVP、点Qの速さVQで
面積速度一定の法則から式を作れ
　答：1/2×R×VP　＝　1/2×R×VQ

楕円軌道を動くときの点Pでの速さをVP、点Qでの速さをVQとして
P点、Q点の力学的エネルギーが等しいという関係式を作れ
　人工衛星質量ｍ、地球質量M、万有引力定数G
　答：1/2mVP2（2乗）ーG×（ｍM/R）　＝　1/2mVQ2（2乗）ーG×（ｍM/3R）

---以下、質問
楕円軌道を動くときの点Pでの速さをVPと点Qでの速さをVQを求めろ

答は、VP＝3√（gR/6）　　　VQ＝√（gR/6）　となるがどういう計算でしょうか？

公式の中で、GR=gR2（2乗）があるがつかいますでしょうか？


以上

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/25 12:44

＞面積速度一定の法則から式を作れ

＞　答：1/2×R×VP　＝　1/2×R×VQ

これじゃあ
　VP = VQ
になってしまうので

　(1/2) × R × VP ＝ (1/2) × 3R × VQ　　　　①

ですね？

＞P点、Q点の力学的エネルギーが等しいという関係式

力学的エネルギー保存から、「運動エネルギー + 位置エネルギー」が等しくなるので、位置エネルギーが「マイナス」であることから
　(1/2)m(VP)^2 - GmM/R = (1/2)m(VQ)^2 - GmM/(3R)　　　②

半径が R （つまり地表面）のときの重力加速度が g ですから
　F = mg = GmM/R^2
つまり
　g = GM/R^2
→　GM = gR^2　　　③
です。

質問者さんの書かれている

＞公式の中で、GR=gR2（2乗）があるが

は多分間違いでしょう。


問題は、①と②の連立方程式から、未知数の VP と VQ を求める作業になります。

①より
　VP = 3VQ　　　　④
なので、これを②に代入して
　(1/2)m(3VQ)^2 - GmM/R = (1/2)m(VQ)^2 - GmM/(3R)
→　4(VQ)^2 = (2/3)GM/R
→　(VQ)^2 = (1/6)GM/R
ここで③を使って
　(VQ)^2 = (1/6)gR^2 /R = (1/6)gR
よって
　VQ = √(gR/6)

④より
　VP = 3√(gR/6)