位置ベクトルのダイバージェンスは3になるのがわかりません。 ∇・|r = 3 教えてください

位置ベクトルのダイバージェンスは3になるのがわかりません。

∇・|r = 3

教えてください

質問者からの補足コメント

• 

  ちょとお時間をいただいてます

    補足日時：2022/03/26 00:08

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/25 10:43

なんとなく

位置 r=(x、y、z)

f(r)=r

という「ベクトル場 f」の発散を求める

という自覚の無いまま、
問題を解こうとしているような気がするのだが
気のせいだろうか?

この回答へのお礼

ありがとうございます。ベクトル場 ということが大切だとおもいました。

お礼日時：2022/03/27 12:00

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/25 12:43

まず

位置ベクトルとは基準（O）から　点R(→r)がどの位置にあるかを
指し示すものですよね
ゆえに、Rの座標を(x,y,z)として
原点からRの位置を→rで指定すれば
→r=(x,y,z)=xi+yj+zk
で、この→rに導かれて
OからRの位置にたどり着くわけです
そして、これ以外にx,y,zに条件を付けなければ
Rの位置は任意（空間上のどこにでも存在しうる）
ということになります
→rはまさにその状態

さて、条件を例えば以下のようにつければ
|→r|=1⇔｜→r|²=1
これは球面のベクトル方程式で
単純な方程式で表せば
x²+y²+z²=1・・・①
となり　x,y,zの間には関連が出てくることになります

ということで
例えば、R(x,y,z)⇔→r(x,y,z)とおいて球面という条件をつけたときの
x,y,zの関係式①なんかを意識してもらえば

「∂/∂x
の微分するxと ベクトル成分のxは
意味が違うのに、・・・」
が解決するのではないでしょうか

次に、divの物理的意味は　ネットなどで調べてもらえば
流体の湧き出しの量で説明されていますから
そちらで研究されるのも良さそうです

2 i ＋ 3 j ＋4 k
というベクトルにいざなわれて減点から進むと
定点(2,3,4)にたどり着きます
だから　
先ほどのRが動的（動点）であるのに対して
こちらはピタッと止まった一点を指示しているという違いを把握してください

で、「湧き出し」の研究をしてもらえば
定点では　ｘ軸方向への湧き出し　吸い込みは等しく
その差は０
ゆえに
(∂/∂x)(rのx成分)=0 となることがつかめるかと思います

一方 →r=(x,y,z)なら
ｘ軸方向への湧き出し　吸い込みは等しくなく
その差から
(∂/∂x)(rのx成分)=１ となることがつかめるかと思います

この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもてちねいでした。

お礼日時：2022/03/27 12:00

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/25 10:59

No3の発散Oの話しだけど

f(r)=(2、3、4)
という場なら
divf=0
ということだからね。
f(r)=r
の
div f
とは全く無関係。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/25 10:31

>なんで∂/∂xのxとx |i のxはちがうのに

同じですよ。
何故違うと思うのでしょう？

div r=∂x/∂x+∂y/∂y+∂z/∂z=3

>|r = 2 |i ＋ 3 j| ＋4 |k

ベクトル場が位置に関わらず一定なら
発散は0です。

∂2/∂x+3/∂y+∂4/∂z=0

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/25 08:50

教科書のdiv の定義は見たことないのでしょうか？

それとも偏微分や内積が分からない？

これ解らないとベクトル解析は
呪文の塊にしか見えないでしょう。

この回答へのお礼

いいえ
私がわからないことは、なんで∂/∂xのxと
x |i のxはちがうのに、偏微分すると1になるのです。

たとえば、
|r = 2 |i ＋ 3 j| ＋4 |k
はdiv は０になります

お礼日時：2022/03/25 10:16

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/24 22:41

原点に対する位置ベクトルrは

r=xi+yj+zk=(x,y,z)
(ただし　i,j,kは基本ベクトル)
と表せますので

divr=(∂/∂x)(rのx成分)+(∂/∂y)(rのy成分)+(∂/∂z)(rのz成分)
=(∂x/∂x)+(∂y/∂y)+(∂z/∂z)
=1+1＋１

この回答へのお礼

∂/∂x
の微分するxと ベクトル成分のxは
意味が違うのに、微分すると1のはなんてですか？

お礼日時：2022/03/25 10:17