A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
2次式のグラフの 概形は 分かりますね。
y=ax²-2x+a-1 は a>0 で 下に凸、a<0 で 上の凸な放物線です。
任意の実数 x について成り立つのですから 当然 a<0 です。
で、問題は 0以下ですから、y=0 の解は 重解になる筈です。
つまり 判別式≦0 が 条件になります。
1²-a(a-1)≦0 → a²-a-1≧0 → 解の公式で解いて a<0 とあわせて、
a≦(1-√5)/2
No.4
- 回答日時:
No.3 です。
失礼、間違えていた。②から③にするときに、a<0 なので不等号が逆転しますね。
>つまり
> a < 0 ①
>かつ
> -(1/a) + a - 1 ≦ 0 ②
ここから先を、以下に修正************
②より
-1 + a^2 - a ≧ 0 ③' ←不等号の向きが逆転
「a^2 - a - 1 = 0」の解は、解の公式より
a = [1 ± √(1 + 4)]/2 = (1 ± √5)/2
従って、③' の解は
a ≦ (1 - √5)/2 または (1 + √5)/2 ≦ a
これと①の共通範囲より
a ≦ (1 - √5)/2
No.3
- 回答日時:
不等式は
ax^2 - 2x + a - 1 ≦ 0
ですか?
そうであれば
ax^2 - 2x + a - 1
= a[x^2 - (2/a)x] + a - 1
= a[x - (1/a)]^2 - (1/a) + a - 1
ですから
y = ax^2 - 2x + a - 1
は
・a>0 なら下に凸、a<0 なら上に凸の放物線
放物線の頂点は (1/a, -(1/a) + a - 1)
・a=0 なら直線
y = -2x - 1
ということになります。
与不等式は、任意の実数 x に対して
y ≦ 0
が成り立つということなので、
・a>0 の「下に凸の放物線」
・a=0 の y = -2x - 1
ではあり得ない。
あり得るのは
・a<0 (上に凸の放物線)で、頂点の y 座標が 0 以下の場合
ということが分かる。
つまり
a < 0 ①
かつ
-(1/a) + a - 1 ≦ 0 ②
②より
-1 + a^2 - a ≦ 0 ③
「a^2 - a - 1 = 0」の解は、解の公式より
a = [1 ± √(1 + 4)]/2 = (1 ± √5)/2
従って、③の解は
(1 - √5)/2 ≦ a ≦ (1 + √5)/2
これと①の共通範囲より
(1 - √5)/2 ≦ a < 0
No.2
- 回答日時:
ax² - 2x + a - 1 ≦ 0 ですね?
a ≧ 0 だと、どうしても ax² - 2x + a - 1 > 0 となる x が生じてしまいます。
a < 0 で、任意の実数 x に対して ax² - 2x + a - 1 ≦ 0 となる条件は、
0 > (判別式) = (-2)² - 4a(a-1) = -4(a^2 - a -1).
すなわち a^2 - a -1 > 0 です。
二次方程式の解の公式を使って、この不等式を強引に解くと
a^2 - a -1 > 0 ⇔ ( a < (1 - √5)/2 または a > (1 + √5)/2 )
なので、a < 0 を考慮すると、問題の答えは a < (1 - √5)/2 です。
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でした。