

【 数Ⅰ 2次関数 】
問題
関数y=mx²+4x+m-3において,yの値が
常に負であるという条件を満たすよう
に,定数mの値の範囲を求めよ。
私の解答
※補足に貼りました
答え
※写真
私の解答の解き方ではなぜ正しい答えに辿りつけなかったのでしょうか?
また、「解答」には、
「yの値が常に負であるための必要十分条件は m<0かつD<0 である」
と書いてありますが、なぜこうなるのかがわかりません。この部分の上に書いてある解答内容はわからなかったので、
別の言葉に置き換えたり、詳しく説明したりして教えてくださいm(_ _)m
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
平方完成形にすれば
y = mx² + 4x + m - 3 ①
= m[x^2 + (4/m)x] + m - 3
= m[x + (2/m)]^2 - (4/m) + m - 3
ここでは、判別式ではなくグラフで考えましょう。
y が常に負であるためには、このグラフは
(a) 上に凸
かつ
(b) 頂点の y 座標が負
である必要がある。
(a) のためには
m < 0 ②
(b) のためには
-(4/m) + m - 3 < 0 ③
②という条件なので、③に m (<0) をかければ不等号の向きが逆転して
-4 + m^2 - 3m > 0
→ m^2 - 3m + 4 > 0
→ (m - 4)(m + 1) > 0
よって
m < -1 または 4 < m
②という条件でこれを満たすのは
m < -1
(終わり)
実は、③という条件は、①のグラフが x 軸との共有点をもたない、つまり
mx² + 4x + m - 3 = 0 は実数解をもたない
ということを表す「判別式」の条件と同じだということが分かりますか?
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