【 数Ⅰ 2次関数 】 問題 関数y=mx²+4x+m-3において，yの値が 常に負であるという条件

【 数Ⅰ 2次関数 】
問題
関数y=mx²+4x+m-3において，yの値が
常に負であるという条件を満たすよう
に，定数mの値の範囲を求めよ。

私の解答
※補足に貼りました

答え
※写真

私の解答の解き方ではなぜ正しい答えに辿りつけなかったのでしょうか？

また、「解答」には、
「yの値が常に負であるための必要十分条件は m＜0かつD＜0 である」
と書いてありますが、なぜこうなるのかがわかりません。この部分の上に書いてある解答内容はわからなかったので、
別の言葉に置き換えたり、詳しく説明したりして教えてくださいm(_ _)m

質問者からの補足コメント

• 答え

  
    補足日時：2022/10/01 15:12

• 答え

  
    補足日時：2022/10/01 15:12

• 正しい答え

  
    補足日時：2022/10/01 15:13

• 正しい答え

  
    補足日時：2022/10/01 15:14

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/01 15:50

平方完成形にすれば

　y = mx² + 4x + m - 3　　　　　①
　　= m[x^2 + (4/m)x] + m - 3
　　= m[x + (2/m)]^2 - (4/m) + m - 3

ここでは、判別式ではなくグラフで考えましょう。

y が常に負であるためには、このグラフは
(a) 上に凸　
かつ
(b) 頂点の y 座標が負
である必要がある。

(a) のためには
　m < 0　　　　　②

(b) のためには
　 -(4/m) + m - 3 < 0　　　③

②という条件なので、③に m (<0) をかければ不等号の向きが逆転して
　-4 + m^2 - 3m > 0
→　m^2 - 3m + 4 > 0
→　(m - 4)(m + 1) > 0
よって
　m < -1 または 4 < m

②という条件でこれを満たすのは
　m < -1

（終わり）

実は、③という条件は、①のグラフが x 軸との共有点をもたない、つまり
　mx² + 4x + m - 3 = 0 は実数解をもたない
ということを表す「判別式」の条件と同じだということが分かりますか？

この回答へのお礼

確かに同じですね！
解答に書いてあった解き方の何倍もわかりやすい説明でした。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2022/10/04 22:15

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/10/01 21:29

2次関数ですから 上に凸になる と云うのは 正解です。

但し 頂点の y 座標は m-3 ではありません。
m-3 は グラフの y 軸との交点です。
頂点座標は 平方完成をしないと、求められません。
これは計算が少しめんどくさいので、判別式を使います。
上の凸な放物線で y の値が 常に 負 と云う事は、
「実数解が無い」と云う事です。
つまり 判別式＜0 が条件になります。

この回答へのお礼

説明がとてもわかりやすくてすんなりと理解できました、ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/04 22:08