水平でなめらかな床の上に長さLの板が静止している。板の左端に人が静止して、ゆっくりと床の上を歩き、右

水平でなめらかな床の上に長さLの板が静止している。板の左端に人が静止して、ゆっくりと床の上を歩き、右端まで到達した。板と床は水平な床から見てどれだけ移動したか。ただし、板の質量をM、人の質量をmとする。

ある解説書では、重心の変化が0の式と相対変位の式を立てて解いています。
相対変位の式を板の変位をΔX、人の変化をΔxとして、
ΔX+L=Δx という式を立てています。
どうしてこの式ができるのか、わかりません。ちょっとしたところでつまずいています。易しくわかりやすく教えてください。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/25 18:53

外力が無いので、m,Mの重心は等速運動することが分かっている。

所が始めは、m,Mの速度は共に0だから、重心の位置は変わらない
(重心の速度は0)。

この重心の位置を原点にして、m,Mの重心からの座標ををx,yとす
ると
　(mx+My)/(m+M)=0 (始めの重心の位置は原点)
→ mx+My=0・・・・　①

つぎに、mが右端まで歩ききった時の変位Δx,Δyは図のように
　Δx-Δy=L
の関係にある。①は変化量としても成り立つ式だから、この２つの式
を解けばよい。

この回答へのお礼

物体が移動しても重心が変わらないというのは、座標が変わらないということだということを図を通して理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/12/25 21:07

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/12/25 18:47

外から力が働いていないので、「板と人」の重心位置は変わりません。

台車の上で人が動くと、台車は反対側に動いてしまうのと同じです。

＞相対変位の式を板の変位をΔX、人の変化をΔxとして、
＞ΔX+L=Δx という式を立てています。

床を基準とした座標で見て、人が右側に Δx だけ移動し、板が左側に ΔX だけ移動すれば（右を正にするので ΔX < 0）、相対変位（人は板の左端から右端まで L だけ進んだ）が
　Δx - ΔX = L
となりますよね？


図の状態（人が左端にいるとき）の重心位置を、板の左端から p のところとすると、板の重心の位置は中央なので、「板と人」の重心位置は
　m × p = M × (L/2 - p)　　　①
という関係になります。
上下方向の動きを考えて、「てこの原理」を適用すればよいです。

①を解いて p を求めれば
　mp = ML/2 - Mp
→　(m + M)p = ML/2
→　p = (L/2)M/(m + M)　　　　②

人が板の右端に来たときの重心位置を、板の左端から q のところとすると、「板と人」の重心位置は
　m × (L - q) = M × (q - L/2)　　　③
という関係になります。

③を解いて q を求めれば
　mL - mq = Mq - ML/2
→　(m + M)q = mL + ML/2
→　q = L(m + M/2)/(m + M)　　　　④

トータルでは、重心位置は板の左端から p→q に移ったので、その距離は
　q - p = L(m + M/2)/(m + M) - (L/2)M/(m + M)
　　　 = Lm/(m + M)　　　　⑤

（別解）
これを物理の「運動」として解くと、ちょっと面倒くさいです。
やってみれば
・人が板の上を右に進むときに、板を左向きに一定の力 f で蹴るとします。
・そのときに、作用反作用で人は板から右向きに f の力を受けます。

人が右向きに進む加速度 a は
　ma = f
から
　a = f/m
t 秒後の速度は
　v(t) = (f/m)t　　　⑥
初期位置を基準とした t 秒後の位置は
　x(t) = (1/2)(f/m)t^2　　　⑦

同様に、板の重心が左向きに動く加速度 b は、右向きを正とすると
　Mb ＝ -f
から
　b = -f/M
t 秒後の速度は
　V(t) = -(f/M)t　　　　　⑧
初期位置（重心位置が人のいる左端から L/2）を基準とした t 秒後の位置は
　X(t) = (L/2) - (1/2)(f/M)t^2　　　⑨

人が板の右端まで来たときには、⑦は⑨よりも L/2 だけ右に来ていることになるので、そのときの時間を T として
　x(T) = X(T) + L/2
これに⑦⑨を代入して
　(1/2)(f/m)T^2 = (L/2) - (1/2)(f/M)T^2 + (L/2)
→　f(1/m + 1/M)T^2 = 2L
→　T^2 = 2L/[f(1/m + 1/M)]
　　　　= 2LmM/[f(m + M)]

板の位置は⑨なので、初期位置 L/2 からの移動量は
　(L/2) - X(T) = (L/2) - [(L/2) - (1/2)(f/M)T^2]
　　　= (1/2)(f/M)･2LmM/[f(m + M)]
　　　= Lm/(m + M)
で⑤に一致します。

この回答へのお礼

相対変位という言葉が出てくると、もうその理解で悩んでしまいます。
丁寧で理解の浅い者にもわかりやすい説明をしてくださりありがとうございました。ΔXは負の方向の変位なのでマイナスをつけて計算するわけですね。

お礼日時：2022/12/25 20:43