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- 回答日時:
「二次不等式が成り立つように」と書かれていたら、二次不等式であるための必要条件である
k ≠ 0
が前提条件となるが、「二次」と書かれていないので
k = 0
も答も対象になるということを言っている。
k≠0 なら
k>0 のとき、与不等式は
x^2 + (1 + 1/k)x + 1 ≦ 0
であり、これが全ての x に対して成り立つことはない。
k<0 のとき、与不等式は
x^2 + (1 + 1/k)x + 1 ≧ 0
であり
x^2 + (1 + 1/k)x + 1
= [x + (1 + 1/k)/2]^2 - (1/4)(1 + 1/k)^2 + 1
= [x + (1 + 1/k)/2]^2 + (3/4) - 1/(2k) - 1/(4k^2)
≧ 0
これが全ての x に対して成り立つためには
(3/4) - 1/(2k) - 1/(4k^2) ≧ 0
であればよい。
これは、両辺に 4k^2 > 0 をかければ
3k^2 - 2k - 1 ≧ 0
なので
D ≦ 0
に等しい。
(上に凸の放物線 y=f(x) が x に接するか、もしくは x 軸よりも下にある(x 軸と共有点がない)ということなので、D ≦ 0 ということになる)
k=0 のとき、与不等式は
x ≦ 0
であり、これが全ての x に対して成り立つことはない。
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