①xに関する方程式(k²-4k+3)x²-4x+1=0が異なる2つの実数解を持つような整数kは、全部

①xに関する方程式(k²-4k+3)x²-4x+1=0が異なる2つの実数解を持つような整数kは、全部で何個あるか。

②不等式|x²-7|<-2x+8を解け。

③xについての2次不等式
･x²-2x-35>0
･x²-(2a+4)x+a²+4a<0
このふたつの式をともに満たす整数xがちょうど2つあるとき、aの値の範囲を求めよ。

3つの問題の解説お願いします！
どれか1つでも構いません!!

No.4 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/03/13 20:30

①

xに関する方程式(k^2－4k＋3)x^2－4x＋1＝0が異なる2つの実数解を持つのだから、xの二次方程式にならなければいけないから、k^2－4k＋3＝(k－3)(k－1)≠0　だから、k≠1,3
そして判別式 Ｄ＝(－4)^2－4・(k^2－4k＋3)・1＞0
16－4k^2＋16k－12＞0
－4k^2＋16k＋4＞0
k^2－4k－1＜0
2－√5＜k＜2＋√5
2＝√4＜√5＜√9＝3より、－1＜2－√5＜0、4＜2＋√5＜5だから、
2－√5＜k＜2＋√5 の範囲にある整数kは 0,1,2,3,4であるが、k≠1,3より、適格なのは0,2,4の３つ。
答え：0,2,4の３つ

②
|x^2－7|＜－2x＋8
(i)x^2－7≧0のとき、つまり x≦－√7、√7≦x のとき
x^2－7＜－2x＋8
x^2＋2x－15＜0
(x＋5)(x－3)＜0
－5＜x＜3
最初に考慮した x≦－√7、√7≦x の条件を加味すると、－5＜x≦－√7、√7≦x＜3が適格な解となる。
(ii)x^2－7＜0のとき、つまり －√7＜x＜√7 のとき
－x^2＋7＜－2x＋8
－x^2＋2x－1＜0
x^2－2x＋1＞0
(x－1)^2＞0
x＜1、1＜x
最初に考慮した －√7＜x＜√7 の条件を加味すると、－√7＜x＜1、1＜x＜√7が適格な解となる。
(i)、(ii)より、－5＜x＜1、1＜x＜3
答え：－5＜x＜1、1＜x＜3

③
(i) x^2－2x－35＞0
(ii) x^2－(2a＋4)x＋a^2＋4a＜0
(i)を解く。
x^2－2x－35＝(x＋5)(x－7)＞0
x＜－5、7＜x
(ii)を解く。
x^2－(2a＋4)x＋a^2＋4a＝(x－a){x－(a＋4)}＜0
a＜x＜a＋4
以上より、この２つの式を共に満たす整数の候補としては、(－7,－6)と(8,9)の２通りがある。
(－7,－6)の場合は、－8≦a＜－7であればよい。
(8,9)の場合は、9＜a＋4≦10、つまり、5＜a≦6であればよい。
答え：－8≦a＜－7、5＜a≦6

No.5 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/03/14 09:24

そっか、ｂ²-4ac =n²　だと、有理数になるだけか

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/13 20:10

...じゃないね。

(k²-4k+3)x²-4x+1=0 が二次方程式である場合、
すなわち k ≠ 1, 3 の場合に No.2 のようになる。

(k²-4k+3) ≠ 0 かつ k = 0, 1, 2, 3, 4 ならよいから、
条件に合う k は k = 0, 2, 4 の 3個。

(k²-4k+3) = 0 の場合は、x は 1個しかない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！よく分かりました！

お礼日時：2019/03/17 13:01

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/13 20:04

①xに関する方程式(k²-4k+3)x²-4x+1=0が異なる2つの実数解を持つ

ための条件は、0 < 判別式/4 = 2^2 - (k^2-4k+3)・1 = 5 - (k-2)^2.
二次不等式を解くと 2 - √5 < k < 2 + √5 で、これを満たす整数 k は、
k = 0, 1, 2, 3, 4 の計 5個。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/03/13 19:46

①16-4(k²-4k+3)＝ｎ²　ｎ∈Ｚ　n>0

ってことは、、、
4(k²-4k+3)＝0　ｋ＝3,1
4(k²-4k+3)＝7　ｋ整数解なし
4(k²-4k+3)＝12　(k²-4k)＝0　ｋ＝0、4
4(k²-4k+3)＝15　ｋ整数解なし

なんで、4個