２物体の単振動

元々は
https://ryebourbon.xsrv.jp/nitaimondai-practice/
にあった問題。オリジナルにはない、実験室系の変位を求める問題に変えました。初速度や A と B の変位を表す変数を少し変えてあります。

v0→
[A]//////////[B]
　水平面上に、なめらかな溝をもつ直線のレールがある。この溝の中に、質量 M、m の小球 A、B を置き、両者をばね定数 k、自然長 L のばねでつないだ。ある瞬間に、A に対し右向きの速度 v0 を与えると、その後、A と B は、振動しながら全体として右向きに進んでいく。A の変位 x1 と B の変位 x2 を表す式を求める。

　重心から見たA と B は同じ周期の単振動をするということを前提に、以下のように解きましたが、合ってますか？

　　xG = (Mx1+mx1)/(M+m)
　　vG = dxG/dt = ( M(dx1/dt)+m(dx2/dt) )/(M+m)
　初速度 v0 が与えられた後は内力しか働かないから運動量保存則より
　　Mv1 + mv2 = Mv0
　∴vG = (Mv1+mv2)/(M+m) = Mv0/(M+m)

　重心から見た A の速度を vA、重心から見た B の速度を vB とする。
　　vA = v1 - vG = v1 - (Mv1+mv2)/(M+m) = m(v1-v2)/(M+m)
　　vB = v2 - vG = v2 - (Mv1+mv2)/(M+m) = M(v2-v1)/(M+m)
　　　 = -M(v1-v2)/(M+m)
　vR = v1 - v2 とおくと
　　vA = (mvR)/(M+m)
　　vB = -(MvR)/(M+m)
　最初 A に対し右向きの速度 v0 を与えたとき、ばねは自然長なのだからそのとき vA、vB 共に最大の大きさとなる。つまり、
　　vR_max = v0
　　vA_max = mv0/(M+m)
　　vB_max = Mv0/(M+m)
　以下換算質量 μ = Mm/(M+m) を使いω = √(k/μ) とする。
　A の単振動の振幅を dA、B の単振動の振幅を dB とすると
　　vA_max = dAω　　dA = vA_max/ω = mv0/ω(M+m)
　　vB_max = dBω　　dB = vB_max/ω = Mv0/ω(M+m)

　重心系における A の変位 x1G は
　　x1G = dAsin(ωt) = ( mv0/ω(M+m) )sin(ωt)
　したがって、実験室系における A の変位 x1 は
　　x1 = vGt + dAsin(ωt)
　　　 = Mv0t/(M+m) + ( mv0/ω(M+m) )sin(ωt)

　同様にして B の変位 x2 は
　　x2 = vGt + dBsin(ωt)
　　　 = Mv0t/(M+m) - ( Mv0/ω(M+m) )sin(ωt)

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/17 20:46

Aに初速を与えたとして、最初はvAが最大でvBは0。

Aの変位が疎密波としてバネを伝わっていくまでBは動かないでしょう。バネを場(field)として扱わないとね。