BHの長さの答えと解説をお願いします！

BHの長さの答えと解説をお願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/11/03 09:19

CG=4-1=3

また
　三角形BCG,CDFは同型なので、BG=CF=5

三角形BCGと三角形BHCは相似。2角がひとしい。つまり、
∠GBCが等しく、∠BCGと∠BHCは直角で等しい。
　
したがって
　BH/BC=BC/BG → BH=4²/5=16/5

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/04 19:18

AB と　CF の延長線の交点を　J とすれば

AF:BC=AJ:BJ
1:4=AJ:AJ+4
∴4*AJ=AJ+4
∴3*AJ=4
∴AJ=4/3
錯角と対頂角が等しい△BHJ∽△CHG より
BJ:CG=(4+4/3):3=16/3:3=16:9=BH:HG
BG=BH+HG=5 から
BH=5*16/(16+9)=16/5
この方法も早い！

この回答へのお礼

たくさんの考え方を教えてくださりありがとうございました！

お礼日時：2023/11/04 19:25

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/04 16:45

座標ですれば

ABをy軸に　BCをx軸に　Bを原点にすれば
A(0,4) C(4,0) F(1,4) D(4,4) G(4,3) になるから
直線BGは　y=(CG/BC)*x=3x/4
直線CFは　Cを通る傾き　－AB/FD= - 4/3 だから
y= -(4/3)(x-4)= -4x/3 +16/3
Hは　2つの直線の交点だから
3x/4= -4x/3 +3
(3/4 +4/3)x=16/3
(9+16)x/12 =16/3
x=16*12/(3*25)=16*4/25=4^3 /25
そのときのy座標は3*4^3 /(25*4)=3*4^2 /25
故に　BH=√(4^3 /25)^2 +(3*4^2 /25)^2
=√{(4^4)(4^2 +3^2)/25^2}
=√{(4^4)25/25^2}
=√{(4^4)/25}
=16/5

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/04 16:10

別解

BG 　と　FD　の延長線との交点を　J　とすれば
錯角と対頂角が等しい△BCH　と　△FJH と　△DGJ は相似だから
BG:GJ=BC:DJ=CG:GD=3:1=3*5/3 : 1*5/3=5:5/3 より
GJ=5/3
DJ=4*GD/GC=4*1/3=4/3　 また
BH:HJ=BC:FJ　..........................(1)
から　FJ=FD+DJ=3+4/3=13/3
BJ=BG+GJ=5+5/3=20/3 より
BC:FJ=4:13/3=12:13 ...............(2)
従って(1),(2)から
BH=BJ*12/(12+13)=(20/3)*12/25=4*4/5=16/5

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/04 15:30

ABCDは正方形なので　AB=BC=CD=DA=4

GD=1　から　CG=4-1=3 .....................(1)
CF=5 以上が条件！
△BCGにおいて　三平方の定理から
BG=√(4^2 +3^2)=5 より FD=√(FC^2 - CD^2)=√(5^2 - 4^2)=3 から
【 1) BH=BC+CE=4+FD=4+3=7 cm 】
3辺が等しいので　△BCG Ξ △CGF 　.........(2)
また　GからFDに平行の線とCFの交点を J とすれば
△CFD∽△CGJ から　FD:GJ=CD:CG=4:3=3:3*(3/4)=3:9/4　また
対頂角と錯角が等しい△BCH と△GHJ は相似なので
BH:HG=BC:GJ=4:9/4=16:9=5*16/(16+9):5*9/(16+9)=16/5 : 9/5
従って　BG=5=16/5 + 9/5 なので　BH=16/5
相似を2回使いました！

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/03 11:29

数値を当てはめるのは最後にして、各々の長さの「比」を求めてみましょう。

∠BCG = ∠CDF = 90°
与条件より
　∠GBC = ∠FCD
　BC = CD
なので、１辺の長さとその両側の角が等しいので
　△BCG ≡ △CDF

従って
　∠DFC ＝ ∠HGC
であり、2角が等しいので（従って、もう１角は∠CHG = 90°）
　△CDF ∽ △CHG
これより、相似比から
　DF : HG = CF : CG
→　HG = CG･DF /CF
よって
　BH = BG - HG
　　= CF - HG
　　= CF - CG･DF /CF

これに数値を代入すれば
　CG = DF = 3
　CF = 5
なので
　BH = 5 - 9/5
　　= 16/5

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2023/11/04 19:27