整数問題

a,bは２以上の整数

a^bー1が素数の時、a=2,ｂが素数であることを証明せよ。

という問題で
(a-1)(a^(b-a）＋・・・・・１）と因数分解して
a＝２でないと素数にならない　という方法で証明できたのですが（ここまでは大丈夫です）

別解いけるかなと思い
a^b-1を和と差の積に因数分解

和の方が素数、差の方が１になるはず的な考えでいけるかと思ってやってみている
↓和と差の積の差の方＝１
a^(b/2)-1=1 　→a^(b/2)＝2　　　（aの2分のｂ乗）
aは２しかなさそうですが、これだとｂも２で決まってしまいます。

a=2,b=5で31とかもあるので・・・。
整数問題って、途中も全部整数にならないといけないんでしたっけ？

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/11 00:43

> a=2,b=5で31とかもあるので・・・

がお分かりなら、
　　2^5 - 1 = (4√2 - 1)(4√2 + 1)
が素因数分解にはなっておらず、もちろん
　　4√2 - 1 ≠ 1
だ、ということもお分かりのはず。

　この場合、素因数分解したいんですよね。そして、もし素因数分解すれば、出てくる因子（おっしゃるところの「途中」）は整数に限定。当たり前の話です。つまり、

> 整数問題って、途中も全部整数にならないといけない

ということじゃなくて、「途中も全部整数にならないといけない」はご自身が（暗黙裡にうっかり）要求した条件なんですよ。

　　つまりこれは「2^5 - 1が素数で、かつ、(4√2 - 1)と(4√2 + 1)がどちらも整数であるならば、(4√2 - 1)=1だ」という（真である）命題です。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/13 19:14

a^b-1=(a-1)(a^{b-1}+…+1)

a^b-1が素数だから
a-1=1
a=2
a^b-1=2^b-1

pをbの素因数とすると
b=npとなる自然数nがある
2^b-1=2^{np}-1

A=2^nとすると

2^{np}-1=A^p-1

A^p-1=(A-1)(A^{p-1}+…+1)
A^p-1が素数だから
A-1=1
A=2
A=2^nだから
2^n=2
n=1
∴
b=pは素数

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/10 23:51

あなたのいう「整数問題」とやらが正確にどのようなものなのかわからんのだが, 「なにがなんでも整数しか使ってはいけない」ということはないよ.

ということで
a^b-1 = [a^(b/2)-1][a^(b/2)+1]
とはなるけど, 右辺にある因数が整数でなければならないという決まりもない.

なお
(a-1)(a^(b-a）＋・・・・・１）
は間違っているので気をつけよう.

この回答へのお礼

最初　a,bは２以上の整数という条件です

前半
そうですよね。この方法だと正解までたどり着くのは無理でしょうか？

後半
タイプミスです
（a-1)【a^(b-1)＋・・・・+1】ですね

お礼日時：2023/11/11 00:08