問題:方程式 (sin x + 1)(cos x + 1) = k の解が 0 ≦ x < 2π の範囲にちょうど 2 つあるような実数 k を求めよ。
自分の解答:sinx=t,cosx=√(1-t^2)
とおいて、微分したら上に凸のグラフとなりました。
https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%2B1%29 …
よって答え=2<k<(3/2)+√2
として間違えました。このグラフで1個しか共有点なくても、sinxの解が2つあるからなんでしょうが、修正できませんでした。また2つ共有点があっても、4つ解があるかもしれません。
全くわかりません。
この解き方を修正する形で教えてくれませんか?よろしくお願いします。
No.3
- 回答日時:
間違った理由は、No.2 のとおりでしょう。
解法としては、 t に置き換える必要がなくて、
y = (sin x + 1)(cos x + 1) のグラフを描けば答えが判ります。
No.4
- 回答日時:
No.3に激しく同意なのだが、しかし
> この解き方を修正する形で
というご注文。でしたら、
k<(3/2)+√2
はOKだから、
-cosx=√(1-t^2)
の場合も考察する。
あるいは
x = θ + π/4
と変数を変えてみるのでも吉。
No.5
- 回答日時:
解いておく。
y = (sin x + 1)(cos x + 1) と置くと、
dy/dx = (sin x + 1)’(cos x + 1) + (sin x + 1)(cos x + 1)’
= (cos x)(cos x + 1) + (sin x + 1)(- sin x)
= cos^2 x + cos x - sin^2 x - sin x
= (cos^2 x - sin^2 x) + (cos x - sin x)
= (cos x + sin x + 1)(cos x - sin x)
= 2(sin(x + π/4) + 1/√2)cos(x + π/4).
dy/dx = 0 となる x は、x + π/4 = π/2, (5/4)π, (3/2)π, (7/4)π.
増減表を書くと、
x 0 π/4 π (5/4)π (3/2)π 2π
y’ + 0 - 0 + 0 - 0 +
y y(0) ↑ 極大 ↓ 極小 ↑ 極大 ↓ 極小 ↑ y(0).
y(π/4) = (1/√2 + 1)(1/√2 + 1) = (3+2√2)/2,
y(π) = (0 + 1)(-1 + 1) = 0,
y((5/4)π) = (-1/√2 + 1)(-1/√2 + 1) = (3-2√2)/2,
y((3/2)π) = (-1 + 1)(0 + 1) = 0.
y = k の解の個数は、
k < 0 で 0 個,
k = 0 で 2 個,
0 < k < (3-2√2)/2 で 4 個,
k = (3-2√2)/2 で 3 個,
(3-2√2)/2 < k < (3+2√2)/2 で 2 個,
k = (3+2√2)/2 で 1 個,
(3+2√2)/2 < k で 0 個.
No.6
- 回答日時:
(1+sinx+cosx)^2
=1+2(sinx+cosx)+(sinx+cosx)^2
=1+2(sinx+cosx)+(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2
=1+2(sinx+cosx)+1+2sinxcosx
=2+2(sinx+cosx)+2sinxcosx
=2(1+sinx+cosx+sinxcosx)
=2(1+sinx)(1+cosx)
=2k
(1+sinx+cosx)^2=2k
{1+(√2)sin(x+π/4)}^2=2k
0≦{1+(√2)sin(x+π/4)}^2=2k
だから
0≦k
k=0のとき
1+(√2)sin(x+π/4)=0
(√2)sin(x+π/4)=-1
sin(x+π/4)=-1/√2
π/4≦x+π/4<9π/4
x+π/4=5π/4.or.7π/4
x=π.or.3π/2
解が2つある
1+(√2)sin(x+π/4)=±√(2k)
(√2)sin(x+π/4)=-1±√(2k)
(3/2)-√2<k<(3/2)+√2のとき
3-2√2<2k<3+2√2
(1-√2)^2<2k<(1+√2)^2
-1+√2<√(2k)<1+√2
-1<-1+√(2k)<√2
だから
(√2)sin(x+π/4)=-1+√(2k)
-1<(√2)sin(x+π/4)<√2
-1/√2<sin(x+π/4)<1
となる
解xが2つある
-1-√(2k)<-√2
だから
(√2)sin(x+π/4)=-1-√(2k)<-√2
となる
解は無
k=0.または.(3/2)-√2<k<(3/2)+√2
No.7
- 回答日時:
じつは
k=(1/2)(sinx+cosx+1)² と変形できる。
さらに
k=(1/2)[√2sin(x+π/4)+1]² としてグラフで見た方が
わかりやすいのでは?
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