線形写像について

大学の線形代数の授業の課題です。
どうしてもわからないので記述の仕方を教えていただきたいです。

写像T:R→Rが線形写像ならば、あるa∈RでT(x)=axとかけることを示せ。(∀x∈R)

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/14 09:34

1次元ベクトルとスカラーを同一視するのは避けたいので

1次元の単位ベクトル E_1↑ = [1]
を導入して話を勧めると

任意の1次元ベクトルは E_1↑ のスカラー倍で表すことができるので
x↑=pE_1↑ (pは実数)

線型性の定義から
T(x↑)=T(pE_1↑)=pT(E_1↑)

T(E_1↑)を適当な一次元ベクトル aE_1↑ で表すと
T(x↑)=pT(E_1↑)=paE_1↑ = apE_1↑ = ax↑

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/13 23:07

Tは線型であることから、T(x) = T(x・1) = xT(1).

T(1) = a と置けば、T(x) = ax.

必要なのは、「線型性」という言葉の定義の確認だけ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/13 22:17

イメージがわかっていれば, その「イメージ」を言葉にするだけだ.