1からnまでの自然数を1つずつ書いたカードが合計n枚ある。これらから同時に3枚抜き出し、そのうちの最大数をXとする。Xの期待値をnで表す。
X=kのとき、3枚選ぶ場合、1枚はkで他の2枚はkより小さい数字のk-1枚から選ぶから
P(X=k) = C(k-1,2)/C(n,3) = 6(k-1)(k-2)/n(n-1)(n-2)
E[X] = 6∑[k=3→n]k*(k-1)(k-2)/n(n-1)(n-2)
= 6∑[k=3→n](k^3-3k^2+2k)/n(n-1)(n-2)
∑[k=1→n]k = n(n+1)/2
∑[k=1→n]k^2 = n(n+1)(2n+1)/6
∑[k=1→n]k^3 = (n(n+1)/2)^2
を利用して
∑[k=3→n](k^3-3k^2+2k)/n(n-1)(n-2)
を計算するためには
∑[k=1→n](k^3-3k^2+2k)/n(n-1)(n-2) - ∑[k=1→2](k^3-3k^2+2k)/n(n-1)(n-2)
でいいのでしょうか?
めんどくさそうなので(笑)、もっと楽な方法があったら知りたいです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
C(k-1,2)=(k-1)!/{2!(k-3)!}=(k-1)(k-2)/2
C(n,3)=n!/{3!(n-3)!}=n(n-1)(n-2)/6
だから
C(k-1,2)/C(n,3)=6(k-1)(k-2)/n(n-1)(n-2)ではありません
P(X=k)
=C(k-1,2)/C(n,3)
={(k-1)(k-2)/2}/{n(n-1)(n-2)/6}
=3(k-1)(k-2)/{n(n-1)(n-2)}
です
E[X]
=3∑[k=3→n]k(k-1)(k-2)/{n(n-1)(n-2)}
↓j=k-2とすると
=3∑[j=1→n-2](j+2)(j+1)j/{n(n-1)(n-2)}
↓jをkに置き換えると
=3∑[k=1→n-2](k+2)(k+1)k/{n(n-1)(n-2)}
=3∑[k=1→n-2](k^3+3k^2+2k)/{n(n-1)(n-2)}
=(3∑[k=1→n-2]k^3+9∑[k=1→n-2]k^2+6∑[k=1→n-2]k)/{n(n-1)(n-2)}
∑[k=1→n-2]k = (n-2)(n-1)/2
∑[k=1→n-2]k^2 = (n-2)(n-1)(2n-3)/6
∑[k=1→n-2]k^3 = (n-2)^2(n-1)^2/4
だから
=3({(n-2)^2(n-1)^2/4}+(n-2)(n-1)(2n-3)/2+(n-2)(n-1))/{n(n-1)(n-2)}
=3{(n-2)(n-1)/4+(2n-3)/2+1}/n
=3{n^2-3n+2+2(2n-3)+4}/(4n)
=3(n^2-3n+2+4n-6+4)/(4n)
=3(n^2+n)/(4n)
=3(n+1)/4
No.1
- 回答日時:
Xの値が1からnまでの範囲であることを考えると、Xの期待値は各数がXになる確率をその数で重み付けして足し合わせたものです。
各数がXになる確率は、その数が3枚のカードの中に含まれる確率です。各数がカードに含まれる確率は、その数がカードに含まれる場合の数を、合計のカードの枚数で割ったものです。合計のカードの枚数は1からnまでの自然数を合計すると、n*(n+1)/2 枚になります。各数がカードに含まれる場合の数は、その数を選ぶ組み合わせの数です。3枚のカードから最大の数を選ぶ組み合わせの数は、(n-1)C2 です。
したがって、Xの期待値は次のように計算できます。
Xの期待値 = Σ[各数i * (iが最大数になる確率)] (i = 1からnまで)
Xの期待値 = Σ[i * (i-1) * (i-2) / (n*(n+1)*(n-1)/6)] (i = 1からnまで)
これを計算して、nで表現してみましょう。
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