以前にも質問させていただいたのですが、理解することができなかったので再度質問させていただきます。写

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質問者：mixer1563
質問日時：2024/05/20 03:19
回答数：5件

以前にも質問させていただいたのですが、理解することができなかったので再度質問させていただきます。
写真の問題の赤線部のように仮定すると、|F(x0)-4|>1/2という示したいものと矛盾する形が出てくることから赤線部では右辺をmin{δ,1/2}としていると思うのですが、イプシロンデルタ論法の定義から|x0-1|<δのδは特定のδ(ヨδ)であることからmin{δ,1/2}ではなく
|F(x0)-4|<1/2となるような(矛盾しないよう)|x0-1|の範囲を考えればよいのではないのでしょうか？
なぜあえて、矛盾するようなmin{δ,1/2}を赤線部の右辺に持ってこれるのでしょうか？赤線部の右辺はεに応じて変わるものだから、任意の値ではないですよね？伝わりにくい文章ですが、解説おねがいします。

https://d.kuku.lu/wfk7z6axs

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回答 (5件)

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No.5

回答者： mtrajcp
回答日時：2024/05/20 18:59

|F(x0)-4|<1/2となるような(矛盾しないような)|x0-1|の範囲δ>0は存在しないのです

どんなにδ>0に対しても

x0=1+min(δ/2,1/2)
とすると

|x0-1|=min(δ/2,1/2)<δ
だから
|x0-1|<δ

|x0-1|=min(δ/2,1/2)<1/2
だから
|x0-1|<1/2
↓両辺に1/2-|x0-1|を加えると
1/2<1-|x0-1|
↓|F(x0)-3|=|x0-1|だから
1/2<1-|F(x0)-3|
だから

|F(x0)-4|
=|F(x0)-3-1|
≧1-|F(x0)-3|
=1-|x0-1|
>1/2

∴
|x0-1|<δ
＆
|F(x0)-4|>1/2

となるような
x0が存在するのです

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No.4

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/05/20 13:37

＞ |x0-1|<δ の δ は特定の δ(ヨδ) であることから、min{δ,1/2} ではなく

＞ |F(x0)-4|<1/2 となるような(矛盾しないよう) |x0-1| の範囲を考えればよい
＞のではないのでしょうか？

lim[x0→1]F(x0) = 4 を示すためならば、そのとおりです。
その考え方でよいので、じゃあ、そうなるような δ を
あなたが見つけてみろという話です。見つけられましたか？
残念ながら、今回の F( ) には、そのような δ は存在しないんですよ。

「探したけど見つからなかったよ」では
δ が存在しないことの証明にはならないので、
リンク先の説明では、収束することの否定：
¬ ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x0, |x0-1|<δ ⇒ |F(x0)-4|<1/2.
すなわち
∃ε>0, ∀δ>0, ∃x0, |x0-1|<δ ∧ |F(x0)-4|≧1/2.
を示しているのです。ここに、|F(x0)-4|≧1/2 が現れますね。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なぜ、|x0-1|<δ ⇒ |F(x0)-4|<1/2.の否定が、|x0-1|<δ ∧ |F(x0)-4|≧1/2になるのでしょうか？また（∧ ）の記号の意味はどのような意味なのでしょうか？

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お礼日時：2024/05/31 00:55

No.3

回答者： mtrajcp
回答日時：2024/05/20 10:38

任意のε>0に対して

あるδ>0が存在して
|x-1|<δとなる任意のxに対して
|F(x)-4|<ε
となるとき

lim{x→1}F(x)=4

というのだから

lim{x→1}F(x)≠4
の
ときは

あるε>0が存在して
任意のδに対して
|x0-1|<δ
&
|F(x0)-4|≧ε
となる
x0
が存在する

となるのです