写真の黄線部についてですが、黄線部は(i)をイプシロンデルタ論法を用いてで表していると思うのですが、

写真の黄線部についてですが、黄線部は(i)をイプシロンデルタ論法を用いてで表していると思うのですが、なぜ、εとδ‘を用いて良いのでしょうか？
青線部の仮定によれば、(i)をイプシロンデルタ論法を用いて表すならε0とδで表すべきではないのでしょうか？解説おねがいします。

写真: https://d.kuku.lu/5b2ghwd5u

質問者からの補足コメント

• 訂正
  δではなくδ0です

    補足日時：2024/05/28 20:47

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/29 15:28

例えば

ε0>0
δ0>0
a=2(1+ε0)/δ0
f(x)=ax
c=0
f(0)=0=A
とすると

任意のε>0に対して
δ=ε/a が存在して
|x-c|=|x|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-A|=|f(x)-f(c)|=|ax-ac|=a|x-c|<aδ=ε
だから

0<ε<ε0
となる任意のεに対して
δ=ε/a が存在して
|x-c|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-A|<ε

となるけれども

x=δ0/2
のとき
|x-c|=|x|=δ0/2<δ0
|f(x)-A|=|ax|=1+ε0>ε0
だから

|x-c|<δ0
かつ
|f(x)-A|>ε0
となるようなxが存在するから

|x-c|<δ0→|f(x)-A|<ε0が成り立たないから

与えられたδ0で表すことはできない

δ0としてはいけません

(i)fはcで極限Aをもつ
から

任意のε>0に対して

あるδ(ε)>0が存在して|x-c|<δ(ε)となる任意のxに対し|f(x)-A|<ε

が成り立つのだから

(δ0ではなく)
（ε>0に関係して存在する)
δ(ε)
を使わなければいけません

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
仮定のa＝2(1+ε0)/δ0という式についてですが、a＝2(1+ε)/δと仮定した場合、δやεについても成り立たなくなってしまいませんか？

お礼日時：2024/06/07 07:52

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/29 09:25

f(x)=3x

c=0
f(0)=0=A
ε0=1
δ0=1
とすると

任意のε>0に対して
δ=ε/3 が存在して
|x-c|=|x|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-A|=|f(x)-f(c)|=|3x-3c|=3|x-c|<3δ=ε
だから

0<ε<ε0=1
となる任意のεに対して
δ=ε/3 が存在して
|x-c|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-A|<ε

となるけれども

x=1/2
のとき
|x-c|=|x|=1/2<1=δ0

|f(x)-A|=|3x|=3/2>1=ε0

|x-c|<δ0
かつ
|f(x)-A|>ε0
となるようなxが存在するから

|x-c|<δ0→|f(x)-A|<ε0が成り立たないから

δ0であらわすことはできない

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/29 05:06

fはcで極限Aをもつ

から
任意のε>0に対してあるδ>0が存在して|x-c|<δとなる任意のxに対し|f(x)-A|<ε
の
ε
は
任意の正の数でなければなりません
だから
正であれば
どんな数でもよいのです
だから
ε0ではなく
0<ε<ε0
となる
ε
としてもよいのです

δはそのεに対して存在するものでなければなりません

(δ0はεを決める前に与えられた変数であって)
δ0はεに対して存在するものではないので
δ0としてはいけません

0<ε<ε0
となる
ε
に対して
あるδ'>0が存在して
|x-c|<δ'となる任意のxに対し|f(x)-A|<ε

δ=min{δ',δ0}とおくと

|x-c|<δとなる任意のxに対して
|x-c|<δ≦δ'
だから
|f(x)-A|<ε
だから
|x-c|<δ≦δ0→|f(x)-A|<ε

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/28 22:14

ここだけだと「f は c で極限 A をもつ」の定義がわからんからそもそも ε0 や δ0 がなんのためにあるのかわからんのだけど....

なんというか, どうしてそのように思ったのかがわからんなぁ.

どうして ε と δ' を使って表してはいけないと感じたのか? どうして「(i)をイプシロンデルタ論法を用いて表すならε0とδ0で表すべきだ」と思ったのか?