全射、単射

例えば、「f:A→B,g:B→C,x∈Aの時g・f(x)が全射⇒f(x)は全射を示せ。」
という問題なんですが、g・f(x)の意味がよく分からず問題の解き方がわかりません。
だれかぜひ教えてください。
お願いします。

No.1 回答者： adinat 回答日時： 2005/05/15 14:32

g・f(x)は正確には真ん中は"○の小さいの"です。

gマルfとか呼んだりします。関数の合成のことです。わかりやすく書けば、g(f(x))のことです。カッコだらけになるので、この合成記号を使うと便利だというわけです。

それさえ分かれば大変簡単な命題だと思います。

No.2 ベストアンサー 回答者： kalgebra 回答日時： 2005/05/15 15:15

写像fは、集合Ａの元xを、集合Ｂの元f(x)に移します。

更に写像gが、集合Ｂの元f(x)を、集合Ｃの元g(f(x))に移します。
g・f(x)は、g(f(x))のことで、g・fは、集合Ａの元xを、集合Ｃの元g(f(x))に移す写像のことです。

この問題の場合、g・fが全射なので『Ｃの任意の元cに対し、c=g・f(x)となるx∈Ａが存在する。』が条件で、
証明することは、fが全射なので『Ｂの任意の元bに対し、b=f(x)となるx∈Ａが存在する。』です。

No.3 回答者： yoikagari 回答日時： 2005/05/15 15:32

問題を間違えていませんか？

正しくは「f:A→B,g:B→C,x∈Aの時g・f(x)が全射⇒g(x)は全射を示せ。」
あるいは「f:A→B,g:B→C,x∈Aの時g・f(x)が単射⇒f(x)は単射を示せ。」
だと思うのですが。