オイラーの運動方程式の導出について質問です． 式(5.23)がどのように導出されたか分かりません．

オイラーの運動方程式の導出について質問です．
式(5.23)がどのように導出されたか分かりません．

式(5.21) は u du/ds + g dz/ds + 1/ρ dp/ds=0
式(4.8) は a=du/dt + u du/ds
です．
2次元に拡張しているのは分かりますが、式(5.21)を
u du/ds = -g dz/ds - 1/ρ dp/ds として式(4.8)の
u du/ds に代入したのですか？ だとしたら 式(5.23)左辺の du/dt は 右辺ではどうなっているのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/08/16 11:29

何からどう導いたか無いのでテキトー。

これの元はナビエ・ストークス方程式です。専門外なのでこのサイトを
見てくだい。
https://manabitimes.jp/math/1850

　( ρDv/Dt= ) ρ(∂v/∂t+(v・∇)v)=-∇p+ρf
から始めいてるようです。

速度を<w>として、もとは運動方程式
　md<w>/dt=<F>
から来ていると思いますが、流線を<x(t),y(t),t>と表すと
　<w>=<w>(x(t),y(t),t)・・・・・①
となり、<w>の成分を
　<w>=<u,v>
とすると、<w>の微分は連鎖律により、
　d<w>/dt=(∂<w>/∂x)dx/dt+(∂<w>/∂y)dy/dt+∂<w>/∂t
　　　　=(∂<w>/∂x)u+(∂<w>/∂y)v+∂<w>/∂t
　　　　=(<u,v>・∇)<w>+∂<w>/∂t
　　　　=(<w>・∇)<w>+∂<w>/∂t
となる。

このとき、<w>を各成分に分解すると、(5.23)を得る。

なお、D/Dt という記号が、物理で使われるが、強調が目的で数学的
には無意味な記号となる。あくまでも①の微分と理解していれば面倒
なことは考えなくてよい。

電磁気学でもd/dtと∂/∂tの違いを理解せず、恥ずかしい議論をする
書籍があるので要注意(結論は合うのだが)。

No.2 回答者： himagene 回答日時： 2024/08/15 12:59

#1です。

(5.23)式の導出がわからないとのことに答えていませんでした。
この式は、気体運動論を記述するボルツマン方程式から導出します。ボルツマン方程式で分布関数をマックウェル分布として質量、運動量、エネルギーの平均値の変化に書き直すと、運動量保存を表す(5.23)式の他に、質量保存とエネルギー保存の式を得ることができます。

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2024/08/15 12:50

全微分と偏微分を混同しているから分からないのです。

d/dt=∂/∂t+v(∂/∂r), ただしvとrはベクトル量
運動方程式は本来はベクトルで表すものです。
(5.21)式は(5.23)式で∂/∂t=0とした、定常状態を表す式です。