合成関数の微分の証明

R^mの開集合UとR^nの開集合Vについて、写像h:U→V f:V→R（ユークリッド空間）で、合成関数f⚪︎hのx_i方向の微分、連鎖律を示してください。たくさん悩んでいろんな本読みましたが無理でした。よろしくお願いします。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/11/12 20:30

Back propagationの勉強で出てきたんでしょうかね。

数学的にウルサイことを言わないで、以下のように考えれば分かりやすいと思います：

偏微分∂z/∂xというのは大雑把に言えば「xが微小量Δxだけ動いたときに、zはその何倍動くか」ってことですよね。zの変化をΔzとすると
　　Δz= (∂z/∂x)Δx
なので
　　Δz/Δx = ∂z/∂x
ということです。

　ご質問においてf(y)のyはベクトルで、その成分はy_k(k=1～n)ですが、f(y)の値は一つの実数。で、f(y)はyの成分の一つy_kがΔy_kだけ動くと、それに応じてfは
　　Δf = (∂f/∂(y_k)(Δy_k)
だけ変化する。ですから、
　　Δf/(Δy_k) = ∂f/∂(y_k)
　そして、yのそれぞれの成分y_kがテンデに微小量Δy_k(k=1〜n)だけ動いたとき、fの変化Δfはそれらの影響の総和
　　Δf = Σ[k=1〜n] (∂f/∂(y_k))(Δy_k)
です。これをベクトルにまとめて
　　∂f/∂y = (∂f/∂(y_1), ∂f/∂(y_2), ... , ∂f/∂(y_n))
と表すことにしておいて、変化の方もベクトル
　　Δy = (Δy_1, Δy_2, ... , Δy_n)
で表せば、
　　Δf = (∂f/∂y)・Δy
と、内積の形で書けます。

　さて、h(x)について。このxはベクトルで、その成分はx_j (j=1〜m)。hもベクトルを値とし、その成分をh_k(k=1～n)としましょう。
　xの一つの成分x_iをΔx_iだけ動かして、しかし他の成分は動かさないとき、hのn個の成分h_k(k=1～n)それぞれがΔh_k(k=1～n)だけ動く。もちろん、
　　Δh_k = (∂(h_k)/∂(x_i))(Δx_i) （k=1〜n)
です。これをベクトルでまとめて表すと、
　　Δh = (Δh_1, Δh_2, ... , Δh_n)
　　∂h/∂(x_i) ＝(∂(h_1)/∂(x_i), ∂(h_2)/∂(x_i), ... , ∂(h_n)/∂(x_i))
として
　　Δh = (Δx_i) (∂h/∂(x_i) )
この積は、ベクトルのスカラー倍、という意味だから
　　Δh/(Δx_i) = ∂h/∂(x_i)
です。

　では、xの一つの成分x_iをΔx_iだけ動かして、しかし他の成分は動かさないとき、fはどれだけ動くか。
　　y_k = h_k, Δy_k = Δh_k （k=1～n)
を
　　Δf = Σ[k=1～n] (∂f/∂(y_k))(Δy_k)
に代入して
　　Δf = Σ[k=1～n] (∂f/∂(h_k))(Δh_k)
　　= Σ[k=1～n] (∂f/∂(h_k))(∂(h_k)/∂(x_i))(Δx_i))
　　=(Δx_i) (Σ[k=1～n] (∂f/∂(h_k))(∂(h_k)/∂(x_i)))
である。ですから、
　　Δf/ (Δx_i) = Σ[k=1～n] (∂f/∂(h_k))(∂(h_k)/∂(x_i))
この左辺が∂(f○h)/∂(x_i)に他なりません。ついでに右辺も内積にしておくと
　　∂(f○h)/∂(x_i) = (∂f/∂y)・(∂h/∂x_i)