この写真の問題の(3)は微積で解く際、どうやって解けますかね？教えて欲しいです。 一般解から行く方法

この写真の問題の(3)は微積で解く際、どうやって解けますかね？教えて欲しいです。
一般解から行く方法を試してみたのですが、どうも上手くいきません。。。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/09 10:01

No.1 です。

(1)(2) は解けているものとして

(3) ＢがＡから離れてからの時間を t とすると、運動方程式は
　-k(L - L0) = ma
L - L0 = x と書けば
　-kx = ma = md²x/dt²
これは「単振動」の式であり、その一般解は
　x(t) = C1･sin(ωt) + C2･cos(ωt)　　　　①
　　(ω = √(k/m))
初期条件は、
・ＢがＡから離れた瞬間、つまり t=0 のとき x=0
　従って
　x(0) = C2 = 0
よって①は
　x(t) = C1･sin(ωt)　　　②

従って
　v(t) = dx/dt = C1･ω･cos(ωt)
(2) より t=0 のとき
　v(0) = C1･ω = C1･√(k/m) = (1/2)x0√(k/m)
なので、
　C1 = (1/2)x0

よって②は
　x(t) = (1/2)x0sin(ωt)

ばねの最大の長さは
　xmax = Lmax - L0 = (1/2)x0
より
　Lmax = L0 + (1/2)x0

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

通常は、力学的エネルギー保存を使って

(a) Ｂが離れたとき（（1)(イ）より L=L0 のとき）
・ばねの弾性エネルギー：Ep0 = 0
・運動エネルギー：(2) の結果より
　Ek0 = (1/2)mv^2 = (1/2)mk(x0)^2 /(4m) = (1/8)k(x0)^2

(b) ばねが最大長のとき
・ばねの弾性エネルギー：Ep1 = (1/2)k(Lmax - L0)^2
・運動エネルギー：Ek1 = 0

従って
　(1/8)k(x0)^2 = (1/2)k(Lmax - L0)^2
→　(Lmax - L0)^2 = (1/4)(x0)^2
→　Lmax - L0 = (1/2)x0
→　Lmax = L0 + (1/2)x0

この回答へのお礼

ありがとうございます！それがまさに自分がやりたかった微積の解き方です！！最後はxmaxから考えれば良かったのですね

お礼日時：2024/12/09 18:48

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/12/10 18:40

BがAからはなれるときのAの位置つまりバネが自然長にもどる位置

を原点としたときの、のちのAの位置をx（右向き正）とすれば
Aの運動方程式は
mx”＝-kx　だけども両辺にx’をかけると
mx’x”＝-kxx’　ここで合成関数の微分公式より
左辺＝d/dt(1/2mx’²)　右辺＝d/dt(-1/2kx²)　だから
d/dt(1/2mx’²＋1/2kx²)＝0
1/2mx’²＋1/2kx²＝E（定数）
つまり力学的エネルギー保存則というのは
運動方程式から微積の応用によって出てくるのですね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/12/09 10:15

微分方程式の解を使って解くという話かな？

かなりめんどくさいけど

単振動の一般解は 正弦波だから
x = -Ccos(ωt + φ), v = Cωsin(ω + φ)
で t = 0 の時 v = 0 , x = -x0 だから、
C ＝ｘ０，φ = 0 となりますから

x = -x0cos(ωt), v = x0ωsin(ωt)

単振動の運動方程式は
4ma = -kx　(aは加速度)
xを代入すると
-4mx0ω^2cos(ωt)=--kx0cos(ωt) → ω^2 = k/(4m)
→ ω = √(k/(4m))

ωt = π/2 の時 v がピークとなり減速を始めるから
AとBが離れますが、その時のA と B の速度は
v(ωt = π/2) = v1 = x0ωsin(π/2) = x0√(k/(4m))

同様に A, B が離れた瞬間の時刻を改めて t' = 0 として
t'=0 の時速度がピークなのを考慮すると、単振動の解は
x = Lsin(ω't), v = Lω'cos(ω't) (Lは振幅)

単振動の運動方程式は
ma = -kx　(aは加速度)
xを代入すると
-mLω^2sin(ω't)=-kLsin(ω't) → ω'^2 = k/m
→ ω' = √(k/m)

t'=0 で v = v1 = x0√(k/(4m)) だから

Lω' = x0√(k/(4m))

L = x0√(k/(4m)) / √(k/m) = (1/2)x0

よって問題の lm は (1/2)x0

力学的エネルギー保存則を使うと
AとBが離れる時ばねの弾性エネルギーが丁度全て
ＡとBの運動エネルギーとなり、その 1/4 が
Aに残るから、
再び運動エネルギーがばねに吸収されて弾性エネルギーに変わるとき
L は x0 の半分になる というのは容易に分かります。
(1/4)(1/2)k(x0)^2 = (1/2)kL^2

この問題の場合、微分方程式の解を使うのはかなり遠回りです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！めっちゃくちゃ遠回りでしたね。。。微積も使いようですね。

お礼日時：2024/12/09 18:41

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/09 00:47

(1)(2) が解けているのなら、(3) は力学的エネルギー保存で解けばよいでしょう。

もちろん、Ｂが離れた時点での速度が分かっているのだから、それを初期条件として運動方程式（ばねとＡの）を解けば求まるでしょう。