No.4
- 回答日時:
BがAからはなれるときのAの位置つまりバネが自然長にもどる位置
を原点としたときの、のちのAの位置をx(右向き正)とすれば
Aの運動方程式は
mx”=-kx だけども両辺にx’をかけると
mx’x”=-kxx’ ここで合成関数の微分公式より
左辺=d/dt(1/2mx’²) 右辺=d/dt(-1/2kx²) だから
d/dt(1/2mx’²+1/2kx²)=0
1/2mx’²+1/2kx²=E(定数)
つまり力学的エネルギー保存則というのは
運動方程式から微積の応用によって出てくるのですね。
No.3
- 回答日時:
微分方程式の解を使って解くという話かな?
かなりめんどくさいけど
単振動の一般解は 正弦波だから
x = -Ccos(ωt + φ), v = Cωsin(ω + φ)
で t = 0 の時 v = 0 , x = -x0 だから、
C =x0,φ = 0 となりますから
x = -x0cos(ωt), v = x0ωsin(ωt)
単振動の運動方程式は
4ma = -kx (aは加速度)
xを代入すると
-4mx0ω^2cos(ωt)=--kx0cos(ωt) → ω^2 = k/(4m)
→ ω = √(k/(4m))
ωt = π/2 の時 v がピークとなり減速を始めるから
AとBが離れますが、その時のA と B の速度は
v(ωt = π/2) = v1 = x0ωsin(π/2) = x0√(k/(4m))
同様に A, B が離れた瞬間の時刻を改めて t' = 0 として
t'=0 の時速度がピークなのを考慮すると、単振動の解は
x = Lsin(ω't), v = Lω'cos(ω't) (Lは振幅)
単振動の運動方程式は
ma = -kx (aは加速度)
xを代入すると
-mLω^2sin(ω't)=-kLsin(ω't) → ω'^2 = k/m
→ ω' = √(k/m)
t'=0 で v = v1 = x0√(k/(4m)) だから
Lω' = x0√(k/(4m))
L = x0√(k/(4m)) / √(k/m) = (1/2)x0
よって問題の lm は (1/2)x0
力学的エネルギー保存則を使うと
AとBが離れる時ばねの弾性エネルギーが丁度全て
AとBの運動エネルギーとなり、その 1/4 が
Aに残るから、
再び運動エネルギーがばねに吸収されて弾性エネルギーに変わるとき
L は x0 の半分になる というのは容易に分かります。
(1/4)(1/2)k(x0)^2 = (1/2)kL^2
この問題の場合、微分方程式の解を使うのはかなり遠回りです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1 です。
(1)(2) は解けているものとして
(3) BがAから離れてからの時間を t とすると、運動方程式は
-k(L - L0) = ma
L - L0 = x と書けば
-kx = ma = md²x/dt²
これは「単振動」の式であり、その一般解は
x(t) = C1・sin(ωt) + C2・cos(ωt) ①
(ω = √(k/m))
初期条件は、
・BがAから離れた瞬間、つまり t=0 のとき x=0
従って
x(0) = C2 = 0
よって①は
x(t) = C1・sin(ωt) ②
従って
v(t) = dx/dt = C1・ω・cos(ωt)
(2) より t=0 のとき
v(0) = C1・ω = C1・√(k/m) = (1/2)x0√(k/m)
なので、
C1 = (1/2)x0
よって②は
x(t) = (1/2)x0sin(ωt)
ばねの最大の長さは
xmax = Lmax - L0 = (1/2)x0
より
Lmax = L0 + (1/2)x0
******************
通常は、力学的エネルギー保存を使って
(a) Bが離れたとき((1)(イ)より L=L0 のとき)
・ばねの弾性エネルギー:Ep0 = 0
・運動エネルギー:(2) の結果より
Ek0 = (1/2)mv^2 = (1/2)mk(x0)^2 /(4m) = (1/8)k(x0)^2
(b) ばねが最大長のとき
・ばねの弾性エネルギー:Ep1 = (1/2)k(Lmax - L0)^2
・運動エネルギー:Ek1 = 0
従って
(1/8)k(x0)^2 = (1/2)k(Lmax - L0)^2
→ (Lmax - L0)^2 = (1/4)(x0)^2
→ Lmax - L0 = (1/2)x0
→ Lmax = L0 + (1/2)x0
No.1
- 回答日時:
(1)(2) が解けているのなら、(3) は力学的エネルギー保存で解けばよいでしょう。
もちろん、Bが離れた時点での速度が分かっているのだから、それを初期条件として運動方程式(ばねとAの)を解けば求まるでしょう。
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