0⁰再び

ずっと以前、０⁰＝１について質問させてもらいましたが、今回、新たに疑問が出てきたのです。
それは、Ⅹ∧(X+1)という式を考えたときでした。Xに０を代入したとき、この式の値がどうなるか考えてみたのです。いま、０⁰が定義できない、という立場をとるとします。素直にＸに０を代入すると、０∧(0+1)=０¹＝０と計算できると思います。しかし、Ｘ∧(Ｘ+1)＝Ｘ・Ｘ∧Ｘとすると、
０・０⁰となりますが、０⁰は定義できないという立場ですから、これを些か拡大解釈になるかもしれませんが、数として定義できないことだとすると、数でない０⁰に０をかけて０としてよいのか？という疑問が起こってきたのです。と言って、素直に計算した場合は、０⁰が定義できない立場でも、０としてよいと思える。そのために別にトリッキーなことは何もしていないし…。
やはり、整合性も考えると、０・０⁰＝０とすることになるのでしょうか？それとも、０⁰が定義できない立場では、Ｘ∧(Ⅹ+1)のＸに０を代入するとき、X・X∧Xとしては計算しないこととでも約束するのか？どうなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 幾つか御意見を承りましたが、結局、０・０⁰＝０とするほうがよさそうです。０⁰を定義できないor定義できないどちらにせよ、０・０⁰の値を定めないとすると、０¹や０²なども値を計算できなくなってしまいかねない(０¹＝０∧(1+0)、0²=０∧(2+0)という形で表現できるだろうから)。それでは窮屈だし数学が面白くなくなります。

    補足日時：2024/12/15 15:58

• ０⁰についての考えを今少し、補足させていただこうと思います。今まで、０⁰について、「定義しない(できない)」、「=１とする」、「＝０とする」という立場というか、考え方があったと思いますが、もう一つ、新たな考え方というか扱いがあるということなのです。それは、０⁰を実数でも虚数でもない、新たな数として導入するというやり方です。幾何学的イメージでいえば、複素平面に直交する０⁰軸とでもいうべき軸があり、いわば３次元空間を構成するとでもなりましょうか。ただし、原点０では、実際にはどの軸も交わっていません。虚数biの実数係数bが限りなく０に近づくということと同様に、b０⁰の実数係数bが限りなく０に近づくということになります。
  そして指数法則は成り立つものとすると、０⁰を何乗しても、０⁰のままとなります。
  次に移ります。

    補足日時：2024/12/16 20:21

• (０⁰)∧x=0∧(0・x)=0⁰ということです。また、b０⁰はもうこの形でしか表せないものとなります。ただし、０をかけた場合は実数の０となる。これは、虚数iとよく似た状況と言えましょう。
  そして、a+b0⁰　a：実数　という式で表される数は、複素平面と０⁰軸で構成される３次元空間内で、(a,0,b)の座標の点として表される。ここで、(実数座標値、虚数座標値、0⁰座標値)となります。
  この考えを使えば、例えば、０⁰=1とする立場は、０⁰軸上の１・０⁰の位置を通り、複素平面に平行な平面上で計算を行う場合とできることになる。０⁰=0とする場合は少し注意が必要ですが。
  ただ、この考えでは、０⁰をX∧XのXを限りなく０に近づけた場合の極限として定義しようとする場合とか、ともかく、冪乗の計算で定義しようとする立場とどう折り合いをつけるか、という問題が発生するのではないかと思われます。次へ

    補足日時：2024/12/16 20:42

• 思い切って、０⁰はべき乗の形をしているけれども、この考えというか、体系の下では、べき乗で表される数ではないのだと割り切ってしまうことが必要になるかもしれません。他にも定義上でも計算の種類によっても、解決せねばならない問題が色々とあると思いますが、面白い考えだとはいえるのではないでしょうか。

    補足日時：2024/12/16 20:50

• さらに補足します。上述の幾何学的解釈で例えば0⁰=1とする立場では、複素平面と0⁰軸により構成される３次元空間において、０⁰軸上の１・0⁰の点を通り、複素平面に平行な平面上での計算を行うことになるとしました。ただし、０・0⁰=0とする以上、この場合だけは、この平面上から抜け出す必要があるようです。これはあまりキレイな形と言えず、ちょっと残念ですが…。

    補足日時：2024/12/16 21:08

• さらに、補足。０⁰=1とする立場での計算は、０⁰軸上の１・0⁰の点を通り、複素平面に平行な平面上での計算をすることとしましたが、より詳しく言うと、|b0⁰|=|b| として、b=１の場合のときの値を
  形式上、０⁰の値と見做して計算するということになりましょう。

    補足日時：2024/12/16 23:50

• 取り急ぎ、補足を。０⁰軸上の一点を通り、複素平面に平行な平面上での計算になるとしましたが、それとは異なり、３次元空間内でのベクトル移動のごとくになるでしょう。

    補足日時：2024/12/17 08:54

• 今朝は余裕がなかったため、粗い説明になってしまったので、もう少しだけ詳しく言うと、3次元空間というより4次元空間でのベクトルとなるでしょう。０⁰軸と実数、虚数軸で構成される３次元空間内のベクトル値として、a+bi+c０⁰があり(a,b,c:実数)、これに０⁰を掛けると、分配法則等が成り立っているとして、a+c０⁰だけなら０⁰軸上の点に移る作用となるでしょう。
  これはこれでいいのですが、ｂ・０⁰・iはどうなるか？と考えた時、０⁰・i軸をもう一個、直交させる必要があると思うのです。これで、０⁰-実数- 虚数-０⁰・i軸からなる４次元空間内の点が０⁰-０⁰・i軸からなる平面上の点に移されることになります。
  つまり、扱う対象がa+bi+c０⁰+ d０⁰という式で表されるベクトルになるという考えです。この考えを活かせる場面が発見されるのに１００年ぐらいかかるかもしれませんが。

    補足日時：2024/12/17 20:31

• あと２回の補足ということで…。０⁰はべき乗の形をしているけれど別物と言っておきながら、指数法則が成り立つとして計算できるなどはおかしいという話もあるのですが、０⁰はべき乗もどきで、冪上の数そのものではないけれど、いかにも指数法則が適用できる数として形式的に扱えるという立場をとるということになるでしょう。確かに苦しい言い訳じみたことですが、１０００年後の数学に期待するということで。

    補足日時：2024/12/17 21:49

• ラスト。0^m・０⁰=0^(0+m)=0^m=0とします(m:実数)。では、０^iやi・０^iは(i:虚数)？
  これまで同様、これらを独自の数として、０^i軸、i・０^i軸とすると、６次元空間を構成することになるのかも。すると、６次元ベクトルとして表わされる数に０^iやi・0^iを掛けるのは、６次元ベクトルを２or３次元ベクトルに変換することになるのかもしれません。ただし(0^i)^iは禁じ手とすべきでしょうね。あと、1/(0⁰)や1/(0^i)といった除算も御法度にするのが無難でしょう。定義しようとすると面白からぬことになりそうですから。窮屈にはなりますが、何事も代償が伴うものです。それから対数や三角関数を適用できるかどうか？やるとすれば、テイラー展開などを使うことになるでしょうが、現段階ではそこまで検討する予定はありません。

    補足日時：2024/12/22 13:25

No.19 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/21 09:16

そうなんだ。

知らなんだ。
それだと、0^0 もだけど
多価関数の枝選択はどうしてるんだろう？
途中結果を目視せずに長い計算をさせると、
そこで足を救われそうで恐いね。

No.18 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/12/20 08:15

>プログラム言語では、x^y は (浮動小数点数)^(非負整数) で、

>指数関数とは別扱いだからね。

pythonはnativeに複素数サポートしてて
複素数の複素数乗をサポートしてますね

Python 3.11.4 (main, Sep 30 2023, 10:54:38) [GCC 11.4.0]
Type 'copyright', 'credits' or 'license' for more information
IPython 8.29.0 -- An enhanced Interactive Python. Type '?' for help.

In [1]: (3+3j)**(3+4j)
Out[1]: (-0.9213848962788078+3.1689076799790614j)

これと 0**0→1 や、0.0**0.0→1.0 をどう整合させているかわ
今のところ私には謎。単に場合分けかもだけど詳細不明。

No.17 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/19 17:26

←No.14

Phython に限らず、多くのプログラム言語で 0^0=1 としているのは、
そのほうが、多項式の記述が簡単になるからです。
そもそも、その理由でクヌースが 0^0=1 を推したことが
1 と定義する説の重要なソースになっている。
プログラム言語では、x^y は (浮動小数点数)^(非負整数) で、
指数関数とは別扱いだからね。

No.16 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/19 17:21

No.12 No.15 の計算自体は正しいけれど、

それが 0^0 の定義と何の関係があるのかは大いに疑問。

x^y の (x,y)=(0,0) での連続性は、
lim[x→0] x^x ではなく
lim[(x,y)→(0,0)] x^y で考えなくては、意味がない。

そして、通常の x^y の定義では
lim[(x,y)→(0,0)] x^y は収束しない。

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/18 10:57

X∧XのXに0を代入することはできないけれども

X∧XのXを0に近づけることはできて

lim[X→+0]X∧X=1

だから

X>0のとき
X∧(X+1)=X・X∧Xだから

lim[X→+0]X∧(X+1)=lim[X→+0]X・lim[X→+0]X∧X

↓lim[X→+0]X∧X=1だから

0=0∧1=0∧(0+1)=0・1=0

No.14 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/12/18 10:40

全くの蛇足だけど python では 0^0 は 1 です。

Python 3.11.8 (tags/v3.11.8:db85d51, Feb 6 2024, 22:03:32) [MSC v.1937 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 0**0
1

このほかに、ruby , Javascript, C#、 C++など主だったプログラミング言語では1 ですね。

高校の授業でも 1 と教える先生が多いらしいです。

個人的には未定義だと思う。

No.13 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/17 20:42

←補足 12/17 20:31

No.11 にも書いたとおり、ハミルトン四元数内に「０⁰ 軸」を取ることは
既に考えてみたが、どうやったら指数法則を保って ０⁰ を定義できるのか
やって見た範囲では見つからなかった。
何をどうやるのか、詳細キボンヌ。

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/17 19:01

lim[X→+0]X∧X

=lim[X→+0]e^{XlogX}
=lim[t→∞]e^{-t/e^t}
=1
だから

Xを0に近づけると、
X∧X
は
1に近づきます

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/17 14:11

←補足 12/16 21:08 〜 12/17 08:54

複素数を部分体に持つ実代数を何か定義して
その中に ０⁰ の値を置く... て考えは、
ちょっと魅力的だけど、うまくはいかなそうな感じ。

その ０⁰ 軸を持つ代数は、実代数として 3 次以上になるが、
実数体の拡大体で複素数体より大きいものは
3次では存在しなくて、４次で斜体のハミルトンの四元数、
8次で非結合体の八元体しかない。
それ以上の次元のクリフォード代数も知られているが、
可除環にはならない。

で、四元数や八元数の中に ０⁰ 軸がとれるか？ていうと、
すこし考えてみたが、指数法則が保たれるようなものは
(私では)見つからなかった。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/17 13:58

lim[(x,y)→(0,0)] x^y が収束しないことは、話の出発点として、

その上で、不連続でもいいから 0^0 を何か定義しとくと便利かもね
って議論の先に 0^0 = 1 とか 0^0 = 0 とかの話が出てくるわけでね。
世間的には 0^0 = 1 を推す人が多い。 私は、未定義のが好きだけど。