数学の問題についてです。 前日にも同じ質問して、 lim[h→0] a(1−cosx) / xsin

数学の問題についてです。
前日にも同じ質問して、
lim[h→0] a(1−cosx) / xsin3x
という問題です。
質問の回答に解き方がわかりやすい画像が貼ったのがあったので、その順でやってたのですが、やっぱり最後でわからなくて困ってます。
赤丸の所がわからないです。

何がわからないのか↓
a / {2cos x/2(3-4sin^2 x)}はxに0を代入するとa/6になるで、わかるのですが、
↑を考えるとsinx/2 / x/2は1にならないといけないじゃないですか？けどどう考えても1にならないんですよね…

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/27 21:31

lim[x → 0]sinx/x = 1 の証明はいろいろなものがあるけど

sinx のべき級数展開（テーラー展開）を使うと
sinx = x - (1/6)x^3 + (1/120)x^5 + ・・・・
sinx/x = 1 - (1/6)x^2 + (1/120)x^4 + ・・・・
xの２次以降の項は極限では無視できるので
lim[x → 0]sinx/x = lim[x → 0]{1-(1/6)x^2 + (1/120)x^4 + ・・}
= lim[x → 0]1=1

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/27 16:53

t=x/2

No.9 回答者： takoハ 回答日時： 2025/01/25 15:38

x→0 の時　x/2→0 なので

lim x/2 →0 sinx/2 / x/2 =0
ここで　x/2=t と置けば
lim t→0 sint / t
t は変数で記号はなんでもいいので　また　x に変えてもいいので
lim x→0 sinx / x=1

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/25 09:20

No.4 誤字があった。

lim[x→0] a(1−cos x) / (x sin 3x)
= (a/3) { lim[x→0] (1 - cos x)/x^2 } / { lim[x→0] (sin 3x)/(3x) }
= (a/3) { 1/2 } / { 1 }.
だよね。

lim[x→0] (sin x/2)/(x/2) = 1 にせよ
lim[x→0] (sin 3x)/(3x) = 1 にせよ
sin の基本公式 lim[θ→0] (sin θ)/θ = 1 に基づく。
y = sin x のグラフに x = 0 での接線をひいてみれば
割と直感的な話なんだけど、証明しようとすると
中学高校流の三角関数の定義では、かなり難しい。
高校の教科書に乗っている説明は、循環論法になってしまっている
ことは古くから有名だ。

大学の教科書によくあるスタイルで、
sin をもともと冪級数で定義するとか
先に指数関数を定義してからオイラーの公式を使って定義するとか
無理関数の積分を使って逆三角関数を定義してからやるとか
すれば、比較的簡単に lim[θ→0] (sin θ)/θ = 1 は計算できる。

ちょっと変わった定義方法として、
f(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(y),
ｇ(x+y) = g(x)g(y) - f(x)f(y),
lim[x→0] f(x)/x = 1
を満たす関数 f(x),g(x) を sin x, cos x と定義する...
でも三角関数を定義することができる。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/25 05:28

t=x/2 とする

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/01/24 20:44

「どう考えても1にならない」のところを「どう考えて 1 にならない」のか書いてくれれば指摘のしようもあれど, ただ単に「どう考えても1にならない」としか書いてないと

いや, そんなことないから
としか返しようがないのだ....

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/24 18:46

>けどどう考えても1にならないんですよね。

でも1なんだよね。まずは電卓で確認してみよう。
いやでもあなたの考えが駄目なことがわかる。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/24 14:57

前回質問の回答 No.1 の末尾に

＞ lim[θ→0] (sinθ)/θ = 1 は
＞ sin の定義に関わる基本公式でしたね。
と書いたのだけれど、教科書は確認したのだろうか？

これを θ = x/2 で適用すれば、
lim[x→0] sin(x/2) / (x/2) = 1 になる。


...っていうか、なんでそんな持って回った変な計算してるかな？
lim[x→0] a(1−cos x) / (x sin 3x)
= 3a { lim[x→0] (1 - cos x)/x^2 } / { lim[x→0] (sin 3x)/(3x) }
= 3a { 1/2 } / { 1 }.

lim[x→0] (sin 3x) / (3x) = 1 も同じこと。


lim[x→0] (1 - cos x)/x^2 = 1/2 も
lim[x→0] (sin x)/x = 1 と同程度に基本的な公式で、
(sin x)/x の極限を使って

lim[x→0] (1 - cos x)/x^2 = lim[x→0] (1 - cos x)(1 + cos x) / { x^2 (1 + cos x) }
　　　　　　　　　　　= lim[x→0] { (sin x)/x }^2 { 1/(1 + cos x) }
　　　　　　　　　　　= { lim[x→0] (sin x)/x }^2 { lim[x→0] 1/(1 + cos x) }
　　　　　　　　　　　= { 1 }^2 { 1/(1 + 1) }
　　　　　　　　　　　= 1/2
と導ける。これも、結論は知っていて当然の範囲。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2025/01/24 14:04

lim(x→0)sinx/x＝1

は、定理(公式)です
ざっくりとした証明は、数学3のテキストなどに載っているから確認してみるのも良いかと思います

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/24 13:48

そこが分からないと何を言っても無理。