グレゴリー級数

πの計算に用いられるtan-1(x)の展開式
つまり、グレゴリー級数の話題です。

テイラー(Brook Taylor 1685-1731)により、現在で言う
テイラー展開が発表される４０年も前にでてきたグレゴリー級数
π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・

はどのように導出されたのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  テイラーの定理は、テイラーの発想なんでは？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/07 18:23

• 

  剰余項はコーシー、ラグランジュらでは？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/07 19:50

• 

  ここにあります。
  初めの＊にｈを入れて検索してみてください。
  直接出すと削除されてしまうのです。
  
  ＊ttps://sonofsamlaw.hatenablog.com/entry/2022/11/10/133913?_gl=1*quydbh*_gcl_au*MTM5OTMxMzczMS4xNzMyNDY4MDU0

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/08 17:53

• 

  ＞ｘ→1のとき1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・への収束が言えないんですね。
  ただお書きのように、グレゴリーはかなり古い人なので
  tan‐¹xの連続性から単純に
  π/4＝1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・と結論していたのかも
  しれません。
  ーー＞
  それでも使えている！！！
  不思議ですね！
  やってみるしかない！
  
  
  ね？
  
  すごい！

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/09 18:40

No.11 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/10 22:38

1-x^2+x^4-x^6-・・・+(-1)^(n-1)x^(2n-2)

は初項1、公比-ｘ^2の等比数列のｎ項までの和だから
1-x^2+x^4-x^6-・・・(-1)^(n-1)x^(2n-2)
＝{1-(-x^2)^n}/(1+x^2)　これより
1/(1+x^2)-{1-x^2+x^4-x^6-・・・+(-1)^(n-1)x^(2n-2)}
=(-x^2)^n/(1+x^2) 両辺0から1まで積分して
π/4-{1-1/3+1/5-1/7-・・・＋(-1)^(n-1)/(2n-1)}
=∫[0~1](-x^2)^n/(1+x^2)dx
両辺絶対値をとって
|π/4-{1-1/3+1/5-1/7-・・・＋(-1)^(n-1)/(2n-1)}|
=|∫[0~1](-x^2)^n/(1+x^2)dx|
≦∫[0~1](x^2n)/(1+x^2)dx≦∫[0~1](x^2n)dx＝1/(2n+1)
つまり
|π/4-{1-1/3+1/5-1/7-・・・＋(-1)^(n-1)/(2n-1)}|≦1/(2n+1)
ここでｎ→∞とすれば右辺→0なので挟み撃ち原理で
左辺の絶対値の中が0に収束する、
つまり
無限級数1-1/3+1/5-1/7-・・・の和はπ/4となります。
これなら積分だけを使うので簡単じゃないかな？

この回答へのお礼

なるほどねぇ・・・
サッスガー兄貴！！！
アザッス！

ブログに追加しておきました・・・
ttps://sonofsamlaw.hatenablog.com/entry/2022/11/10/133913?_gl=1*175zazj*_gcl_au*MTM5OTMxMzczMS4xNzMyNDY4MDU0

お礼日時：2025/02/10 23:46

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/09 20:58

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14032372.html
↑のほうに回答しておきましたが、
アーベルの連続性定理を使うには、前提として
1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・ が収束することを
先に示しておく必要があります。
アーベルの定理で判るのは、収束性ではなく
極限の値だけです。
グレゴリー級数は交代級数なので、
ライプニッツの交代級数定理によって収束性が言えますね。

この回答へのお礼

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14032372.html
読みました。
交代級数に証明はむずかしかったです・・・

お礼日時：2025/02/09 22:43

No.9 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/09 18:34

ええ、厳密にいうとアーベルの連続性定理がないと

|x|＜1でなりたつ
tan‐¹x＝x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+ｘ^9/9-・・・の右辺が
ｘ→1のとき1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・への収束が言えないんですね。
ただお書きのように、グレゴリーはかなり古い人なので
tan‐¹xの連続性から単純に
π/4＝1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・と結論していたのかも
しれません。

余談ですが、連続関数の積分可能性をその一様連続性をふまえずに
結論していたコーシーを思い出しました。

この回答へのお礼

＞|x|＜1でなりたつ
ーー＞
これは、
１／（１＋ｘ＾２）
の展開の場合であって、積分してしまうと１でも成り立つんでは？

そのあたりどうですか？

お礼日時：2025/02/09 18:51

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/09 12:25

グレゴリーは、時代的にオイラー以前の人ですから、

関数の冪級数展開の着想を得ても、
級数の収束性まで考察していたとは考え難いですね。
素朴に、式変形できれば計算は正当と考えていた
んじゃないかと思います。しらんけど。

この回答へのお礼

然り！

お礼日時：2025/02/09 16:14

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/08 21:25

アーベルの連続性定理ですね。

グレゴリーはこの定理を理解していたのかしら？

この回答へのお礼

＞アーベルの連続性定理ですね。
ーー＞
素晴らしい教養！
わたしはしりません・・・
当時はなかったでしょうね。
１６００年代だから・・・
積分は知られていたかも・・・

お礼日時：2025/02/08 22:42

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/08 17:39

No.5のお礼欄の式はわかるけど

これをつかってグレゴリオ級数の最初の証明がなされたと
いうのですか？

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/08 17:00

さっきの引用サイトでまちがいがあります。

ライプニッツ級数の証明1　のなかで
＜これはn が十分大きいと 0≤x<1 で
0 に近づくことに注意すると，＞
とあるところは単に

＜0≦x≦1　ならば＞として以下の式につなぐべきですね。
つまりこうしても以下の式は成り立ちます。

この回答へのお礼

（１＋ｘ＾２）（１ーｘ＾２＋ｘ＾４＋・・・）
＝１ーｘ＾２＋ｘ＾４＋・・・
　　＋x＾２ーｘ＾４＋・・・
＝１＋ｘ＾∞＝１

∴1／（１＋ｘ＾２）＝（１ーｘ＾２＋ｘ＾４＋・・・）

お礼日時：2025/02/08 17:20

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/08 15:06

以下のサイトはグレゴリー級数の発見者のやりかたとは

ちがうかもしれないけど
高校数学の範囲で証明してるのでぼくは気に入ってます。
https://manabitimes.jp/math/775

この回答へのお礼

お礼日時：2025/02/08 15:31

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/07 20:28

＞ 剰余項はコーシー、ラグランジュらでは？

今は、テイラー展開(無限級数)の話をしているんでね。
テイラー展開を開発したのは、テイラーより前の
グレゴリーだと言われてるって話。
剰余項は、人によって違うし。

この回答へのお礼

了解っす！

お礼日時：2025/02/07 20:37

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/07 19:03

ほんまです。

テイラーの定理は、剰余項についてはテイラーの発想かもしれませんが、
関数をテイラー展開することは、テイラーが教科書を書いた時点では
学生に講義で教えるくらいには枯れた定番の手法だったのです。
テイラー展開を開発したのは、グレゴリーだと言われています。