中学数学

「底面の半径が2㎝、母線の長さが6㎝、頂点がOの円錐がある。この円錐の底面の直径の1つをABとする。線分OA上にOP=2㎝となるように点Pをとる。また、線分OB上を動く点Qがある。点Bから点Pを通るようにして、点Qまでひもをかける。ひもの長さが最短となるように点Qをとるとき、ひもの長さを求めよ。」
という問題の解き方を教えてほしいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/03 17:04

問題文の「日本語」が何を言っているのか分かりますか？

まずは自分の手で図を描きましょう。

結局のところ、BP は固定ですから、PQ を最短にすればよいのですね？

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/04 10:50

>ひもをかける

「円錐の側面に沿って」という記述が無いので、
単に点間の距離で解釈されても仕方のない問題だと思う。

蛇足だけど、個人的な感想だが、

円錐を平面に展開して点間を
直線で結んだ場合の長さが紐の長さというのは
直感的にはかなり明らかに近いが結構モヤる。
今では微分幾何で確かめたりしてるから良いのだが
天下り過ぎて昔から中学では早すぎと思っている。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/04 09:26

図は、回答者の誰かに書いてもらうのではなく、

必ず自分で書いて考えましょうね。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/03 20:58

画像の通り

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/03 18:24

円錐の側面を線分OB で切り開いて展開すればよいです。

点B が図上 2ヶ所に現れますが、それを B₁, B₂ として、
直線B₁P と OB₂ の交点を Q とすればヒモは最短となります。

側面を展開した扇形の弧長は、底円の円周と同じ 4π なので、
扇形の中心角は 120° ですね。
O(0,0), A(6,0) になるように座標軸をとると
P(2,0), B₁(3,-3√3), B₂(3,3√3) になります。
B₁P の式が y = (-3√3)(x - 2),
OB₂ の式が y = (√3)x　で、
交点は、連立方程式を解けば (x,y) = (3/2, (3√3)/2).

ヒモの長さは、B₁Q = √( (3/2 - 3)^2 + ((3√3)/2 - (-3√3))^2 ) = 3√7.

図は、回答者の誰かに書いてもらうのではなく、
必ず自分で書いて考えましょうね。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/03/03 17:38

円錐を広げて展開図を描けば解る。

手を動かせ！