この増減表を求める問題で微分係数0になる点を求めるというのは分かりますが、でもそれだとポイントの条件

この増減表を求める問題で微分係数0になる点を求めるというのは分かりますが、でもそれだとポイントの条件は0より大きいか小さいしかも0は含まれてはいけない訳ですからそれでどうやって判断できるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ありものがたりさんの回答に対して、
  「つまり、表のy'=0になる点をまず見つけ出して、そこからちょっと左右にxの値を動かしてみなければ分からないということですね。例えば左ならx=－1を代入してy=9だから+、よってポイント欄内の一番上に当たるので単調増加、今度は右へちょっと動かしてみてx=1を代入してy=－3だから－、よってポイント欄内の2番目に当たるので単調減少。と言う風に。」

    補足日時：2025/03/26 11:00

No.9 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/26 16:34

補足2025/03/26 11:00

は
間違っています

y'=3x(x-2)=0になる点を

x=0と見つけ出して、

左なら
x=-1を代入してy=9だから+
ではなく

左なら
y'=3x(x-2)
に
x=-1を代入してy'=9だから+
です

左なら
x<0 xは負だから
x-2<x<0　だから
x-2 も負だから

負の数xと負の数(x-2)をかけた
x(x-2)
は正になるから

y'=3x(x-2)>0
は
正だから+
だから
単調増加

右なら
x=1を代入してy=-3だから－、
ではなく

右なら
x=1を代入してy'=-3だから－、
です

右なら
0<x<2 は正
x-2<0 だから
x-2 は負

正の数xと負の数(x-2)をかけた
x(x-2)
は負になるから

y'=3x(x-2)<0
は
負だから-
だから
単調減少

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/26 15:44

＞ つまり、表の y’=0 になる点をまず見つけ出して、

＞ そこからちょっと左右にxの値を動かしてみなければ分からない
＞ ということですね。

あれ？ No.1 に、f’(x) が二次関数なら、二次関数に関する知識から
f’(x) の正負は判る... って書いたのに、なぜ、一点代入するほうを
採用しているのかな？ 謎です。

増減表を書くってことは、関数のグラフを描くのとほぼ同等のこと。
実関数に関する理解の総力戦です。「f’(x) の零点を求めて、零点の間の
x を f’(x) に代入してみる」なんていう、簡素すぎて明らかに粗末な
マニュアルでは、対処できない場合もあるし、逆に、もっと単純な
ショートカットが在る場合もある。f’(x) が二次関数なんてのは、
ショートカットが在るほうの例です。二次関数のグラフは知ってるんでしょ？
f’(x) が多項式だったり、多項式と正値しかとらない関数の積だったり
した場合も、同様の考え方で済みます。

そのマニュアルで対処できない例としては、f’(x)=0 に解があることは判る
けれど、その解の具体的な値は簡潔に表示しようがない場合とか。
その場合、解を α とでも置いて、その周辺で何が起こっているか
考えてゆくことになります。ひどい場合だと、更に f”(x) まで求めて
関数 f’(x) のほうの増減表を書いてやっと状況が理解できるような例もある。
まあ、簡単なほうも難しいほうもイロイロだということです。

学習参考書の多くが「一点代入してみる」という説明をとっているのは、
その方法が一番、説明文が短くて済むから というだけのことですよ。

この回答へのお礼

なるほど。よく分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2025/03/26 17:41

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/26 13:23

何が質問なのか不明なんだけど

f(x)=x^3-3x^2+4 = (x+1)(x-2)^2
だからグラフは (x, y)=(-1, 0), (2, 0) を通るし、
(2, 0)ではx軸と接していることがわかる

f'(x) = 3x^2-6x=3x(x-2)の零点は x = 0, 2
f''(x) = 6x-6=6(x-1)
f''(0) = -6 < 0, f''(2)=6 > 0
だから (x, y)=(0, 4) が極大点、(x, y)=(2, 0) が極小点になる。
また x=(1, 2) が変曲点になる。

別にこんな計算をしなくても、xをいろいろ変えてyを計算し
プロットしてゆけばグラフは描けるけど、急所と概形が
わかっていればグラフが書きやすいと思う。

例題の趣旨は、たぶんこういうことを調べながら要所に解説を加えつつ
グラフを描けということだと思いますよ。

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2025/03/26 10:33

ひょっとして「ポイント」と書かれている項目の中にf'(x)=0の場合が含まれていないからパニクっておられるんでしょうか。

だとしたら他の回答でツッコミがあったように「微分係数とは何なのか」を分かっていないと言わざるを得ません。分かっていたら「微分係数が0」が何を意味するかは自動的に分かります。

微分係数が分かっていないと言う事は、微分とは何を計算してるのかを分かっていないと言う事ですから、率直に言えば「微分の事を何も知らない(微分を習う前と何も変わっていない)」と言う事になるでしょう。そもそもこんな問題に取り組めるレベルにさえ達していないわけですから、こんな問題はいったん放っておいてまずは「微分」の項目を最初から全部勉強して下さい。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2025/03/26 10:21

そもそも「ポイント」に何が書いてあるか(書いてある事の意味)本当に分かっておられるのでしょうか。

分かっていたら「ポイントの条件」「0より大きいか小さいしかも0は含まれてはいけない」などと言う書き方にはならないはずだと思いますが。

まず「ポイント」なる項目で書かれている内容を「条件」と呼ぶのは不適切だと思います。ここで書かれてあるのは「f'(x)が正だとf(x)はこうなるし負だとこうなる」「f"(x)の正負によってどちら向きに凸かが分かる」と言うものです。「条件」とは違いますし、そもそも「0は含まれてはいけない」などと言った書き方にはなっていません。

ちなみに「0より大きいか小さい」と本当に書いてあるなら「0は含まれてはいけない(含まない)」と言う文言は不要です。この事からも伺えますが、率直に言って数学以前の「問題文を読む力(≒国語力)」の問題だと思います。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/26 10:08

y=x^3-3x^2+4

y'=3x^2-6x

f'(x)=3x(x-2)

x<0 のとき　f'(x)=3x(x-2)>0 →　f(x):単調増加

0<x<2 のとき　f'(x)=3x(x-2)<0 →　f(x):単調減少

2<x のとき　f'(x)=3x(x-2)>0 →　f(x):単調増加

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/26 09:24

＞微分係数0になる点を求めるというのは分かりますが

おそらく、その意味、何故そうなのかを理解していないのでしょうね。
「微分係数」とは何なのか、ということです。

「微分係数0になる点を求める」というのを、単なる「テクニック」「手段」としか考えていないのではないですか？

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2025/03/26 09:00

微分係数が0の点に限っての話ですと、

その点ではf(x)は増加しているとも減少しているとも言えないということになります。接線（がひける場合）は水平になるということです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/26 08:49

何を尋ねているのか、焦点が掴みにくい質問ですが...

赤字書き込みの「意味」といえば、
写真の「ポイント」に書いてあることが全てです。
「減少」というのは、その区間内で a < b であれば f(a) > f(b)
が成り立つということ。
増加、減少を利用して、どの x で f(x) が大きいか、小さいか
を見つけるのが「増減表」です。

なぜ「ポイント」のようになるのか？といえば、平均値定理
という定理があるから。
a ≦ x ≦ b の範囲で f(x) が連続で
a < x < b の範囲で f(x) が微分可能なら、
a < c < b の範囲に f(b) - f(a) = f’(c)・(b - a) となる c がある
という定理です。
f’(c) の正負で、 f(b) - f(a) の正負が判りますね。

具体的に f’(x) = 3x(x - 2) が 0 < x < 2 のとき正か負か？
については、ここの f’(x) の式、ここでは 3x(x - 2) を見て
個別に考えるしかありません。

今回の様に f’(x) が二次関数なら、グラフの形はよく知っているので
値の正負を考えることができるでしょう。
f’(x) がもっと複雑な式の場合は、少し工夫が要ります。

f’(x) が連続関数であることが式形からひと目で判るような例が多いので、
その場合は、その区間内の x を何かひとつ f’(x) へ代入して
値の正負を見れば、区間での f’(x) の正負が判ります。
中間値定理という定理があるからです。

f’(a) = f’(b) = 0, a < b となる a, b の間に
a < ｃ < b, x = ｃ では f(x) が微分不能 となるような c がある場合には、
もう少し丁寧な扱いが必要で、たいていの場合
lim[x→c-0] f’(x) と lim[x→c+0] f’(x) の正負を考えます。
lim を正確に計算する必要は無く、「x が c よりちょっとだけ小さいとき」
「x が c よりちょっとだけ大きいとき」の f’(x) の値を概算すれば十分です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2025/03/31 00:56