先日は問題が送れてなかったようで失礼致しました。 良問の風の28番なんですが、解答を読んでもなんかし

先日は問題が送れてなかったようで失礼致しました。

良問の風の28番なんですが、解答を読んでもなんかしっくりこないです。特に(2)に関してですが、Pと Qのｙ座標が一致するためイコールで繋いでsinαが求まると言われました。

そこで疑問に思ったんですが、ｙ座標が一致したとしてもx座標が一致しなかったらそもそも衝突する条件にならないのでは？と思いました。

解答の方では初速が等しいからイコールで繋いでsinαを出していました。これもまたよくわからないです。

もう解答も雑だし説明聞いてもさらに疑問が生まれるしで腹立ってきます。

このような疑問を抱くことはあまり良くないことですか？私は考えすぎなのでしょうか？

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/16 12:52

No.4 です。

cosとsinが入れ替わってますね。

以下訂正版。

Aの座標は (x, y) = (L, vt - (1/2)gt^2) (t: 時刻, g: 重力加速度)

角度α速度Vで打ち出すと、時刻tでのBの座標は
(x, y) = (Vcosα・t, Vsinα・t - (1/2)gt^2)

ここで y の座標を比べると
Bのy座標 - A のy座標 = (Vsinα・t - (1/2)gt^2) - (vt - (1/2)gt^2)
= (Vsinα - v)t

つまり、Vsinα - v ≠ 0 の場合 (Vsinα - v)t は t > 0 で
ゼロにならないので、AとBは決して衝突しないことがわかります。
よって Vsinα - v = 0 が衝突条件の一つなのです。

Vsinα - v = 0　の場合、AとBはtにかかわらず、常に同じ高さなので
A, B が共に地面に落ちてしまう前に同じx座標になれば
必ず衝突します。

蛇足：

AからBを見ていると　速度　Vsinα - v　で垂直位置が
ずれていくように見えます。だから　Vsinα - v ≠ 0 なら
あたりません。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/15 17:11

Q点を原点。

P点の座標を(L, 0) としましょう。

Aの座標は (x, y) = (L, vt - (1/2)gt^2) (t: 時刻, g: 重力加速度)

角度α速度Vで打ち出すと、時刻tでのBの座標は
(x, y) = (Vsinα・t, Vcosα・t - (1/2)gt^2)

ここで y の座標を比べると
Bのy座標 - A のy座標 = (Vcosα・t - (1/2)gt^2) - (vt - (1/2)gt^2)
= (Vcosα - v)t

つまり、Vcosα - v ≠ 0 の場合 (Vcosα - v)t は t > 0 で
ゼロにならないので、AとBは決して衝突しないことがわかります。
よって Vcosα - v = 0 が衝突条件の一つなのです。

Vcosα - v = 0　の場合、AとBはtにかかわらず、常に同じ高さなので
A, B が共に地面に落ちてしまう前に同じx座標になれば
必ず衝突します。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2025/04/15 13:03

「x座標が一致しなければ、衝突しない」…確かにその通りです

そして、細かい点に疑問を持つのは学力向上のためには良い事です
(ただし、受験生なら、時間が限られているのである程度折り合いを付けて、これはそう言うものだと
一旦受け入れてしまう事も時には必要かもしれません…)

そして、この問題についてですが、貴方のように考えると複雑化して面倒です
そう言う時は、考え易い見方に変える、これがコツです！
地上に対するAの速度ベクトルを→v
Bの速度ベクトルを→V
Aから見たBの相対速度を→Vbaとして、各ベクトルの大きさを
│→v│＝v、│→V│＝V
と表記する事にすると
各ベクトルの成分表示は
→v＝(0、v)
→V＝(Vcosα、Vsinα)だから
→Vba＝(→V)−(→v)
＝(Vcosα、Vsinα)−(0、v)
＝(Vcosα、Vsinα−v)
となりますよね
AとBのはじめの位置関係が水平に真横ですから、相対速度ベクトルのy成分が0であれば、Aから見てBは常に水平真横にあり、だんだんAに近づいて来てやがて衝突する事になります
このように考えると、淡白に
Vsinα−v＝0↔Vsinα＝vであれば良いと言えます

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/04/15 10:01

２次元平面上で「衝突する」ためには、「x 座標と y 座標が等しくなる」ことが必要です。

P の x 座標は一定、Q の x 座標は時々刻々変化しますが、0<α<90° の範囲であれば「ある１点で必ず交錯する」ことになります。

その「x 座標が等しくなる」時間がいつであるにせよ、「P も Q も y 座標は常に等しい」という条件下であれば「必ず衝突する」ということがいえます。

「P と Q の y 座標は個別に独立して動く」という条件であれば、「x 座標が等しくなる」時間の y 座標は様々であり、「衝突する」とすれば「たまたま、偶然」であって、よほどの幸運でない限り衝突しないことになります。

問題では「衝突させるには」とあるので、これは「偶然ではなく確実に衝突させる」という題意であると解釈できます。
その意味で、「P も Q も y 座標は常に等しい」が「必要条件」となります。
「P も Q も y 座標は常に等しい」ための条件は、P と Q の初速度の y 成分が等しいことです。

そういう「論理的な思考」をしないといけません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/15 08:26

(2)

その「PとQのｙ座標が一致するためイコールで繋いでsinαが求まる」というのは、
A と B の ｘ座標が一致する時刻での ｙ座標が一致するような sinα を求める
...の読み間違いではないかと思います。

その時刻を T、 PQ 間の距離を L として、
ｘ座標について (V cosα)T = L,
y座標について (V sinα)T - (1/2)gT^2 = vT - (1/2)gT^2.
になりますよね。

この連立方程式に解 T,L があるように α を定めればよいのですが、
y座標の式には L が登場しておらず、この式を満たす T があれば、
x座標の式から L は求まります。

y座標の式を整理すると T = 0 または V sinα = v になるので、
求めたい α は sinα = v/V と解ります。
問題の設定から 0 < v < V だから、 0 < v/V < 1 であり、
そのような sinα は存在しますよね。
T = 0 のほうは、打ち上げる瞬間に A と B の y座標が 0 で一致している
状況を表しています。

問題集の解答は、答えを出すのに直接使わない x座標の式に
言及しなかったから、あなたの疑問が生じたのでは？