至急 a²b＋a－b－1 の因数分解の解き方を教えてください

至急
a²b＋a－b－1
の因数分解の解き方を教えてください

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2025/05/01 21:24

f(a,b)=a²b＋a－b－1

f(1,b)=b+1-b-1=0 より
a=1 即ち　a-1=0 から
a-1 の因数があるので
f(a,b)=(a-1)(ab+b+1)

解説として
次項の最初に　ab とおけば　b a^2 と　-ab
ができるので　次の項に　+b にすれば　ab と　-b となり
ab が消えるから　あと　a-1 があればいいので　
最後の項は　+1　にすればいい!

まーー　次数の低い b でまとめるのが　定石ではあるが　!!

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/01 11:07

多項式は、根を見つけることで

因数定理によって因数分解できます。
根を持たないような多項式でも、
分解体上で一旦一次因子の積へ分解してから
因子を適当に掛け合わせて
基礎体上の因数分解へ加工すればいい。
実係数の多項式は、虚数解を共役対で持つから
対を掛け合わせれば実二次因子にまとまる
...という例のアレです。

質問の多項式 (a^2)b+a-b-1 は、
a について二次、b について一次ですから
根は容易に求まります。

a に着目するなら、
ba^2 + a + (-b-1) = 0 を a について解いて
a = { - 1 ± √(1 - 4b(-b-1)) }/(2b)
　= { - 1 ± √(4b^2+4b+1) }/(2b)
　= { - 1 ± (2b+1) }/(2b)
　= 1, (-b-1)/b
より、a の係数を考慮して
(a^2)b+a-b-1 = b{ a - 1 }{ a - (-b-1)/b }
　　　　　　= (a-1){ ba - (-b-1) }
　　　　　　= (a-1)(ab+b+1).

b に着目するなら、
(a^2)b + a - b - 1 = 0 を b について解いて
ｂ = { a - 1 }/{ a^2 - 1 }
　= 1/(a+1)
より、b の係数を考慮して
(a^2)b+a-b-1 = (a^2 - 1){ b - 1/(a+1) }
　　　　　　= (a+1)(a-1){ b - 1/(a+1) }
　　　　　　= (a-1){ (a-1)b - 1 }
　　　　　　= (a-1)(ab-b-1).

どちらでも、似たようなものです。
途中、分母≠0 を仮定しなければならない箇所が
ありますが、そのような分母は除外しておいて、
後で多項式の連続性から穴を埋めれば十分でしょう。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/01 09:18

もうひとつ。

思い付きで a = 1 を試してみる。
a²b＋a－b－1 = b + 1 - b - 1 = 0
だから、因数として (a-1) があることがわかる。
(a²b＋a－b－1)/(a-1) = ba+b+1
だから
a²b＋a－b－1 = (a-1)(ba+b+1)

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/01 08:39

一定の解き方があるとは思えないけど

まずは特定の文字に着目して係数を見て
タスキを試すのが定跡かな。

まず、aについて整理してみる
ba^2 + a + (- b - 1)
として、係数の関係からたすきでよさそうなものが
無いか試してみると
(b, b+1)
(1, -1)
は
b×1 →b
(b+1)×(-1) = -b -1
b×(-1) + (b+1)×1 = 1
となるので、よさそう。

よって、
ba^2 + a + (- b - 1) = (ba+b+1)(a-1)

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2025/05/01 08:32

「解き方」というよりは、「気づき」「推察」「ひらめき」「直感」みたいなものでしょう。

数多く経験することで養えます。

それで気づけなければ、あとは「試行錯誤」でドンくさく「ああでもない、こうでもない」とやってみることです。
数学の90％は、「公式に代入して一発解答」ではなく、「ドンくさく、試行錯誤しながら解決の道筋を探す」という行為です。

「a」とか「b」に着目して、共通するもので分けてみる、というのがとりあえずの「試行錯誤」でしょうか。

「a」に着目すれば
　a²b + a - b - 1
= a(ab + 1) - (b + 1)
う～ん、ここから先は見てこない。

「b」に着目すれば
　a²b + a - b - 1
= b(a² - 1) + (a - 1)
= b(a - 1)(a + 1) + (a - 1)
こう書けば「(a - 1) でくくれる」とわかって
= (a - 1)[b(a + 1) + 1]
= (a - 1)(ab + b + 1)

そんな試行錯誤です。

No.4 回答者： isoworld 回答日時： 2025/05/01 08:25

すでに回答があるように、これは先ず a²b と －b に目を付けるところがポイントなんですよ。

そうすべきヒラメキは、勘と経験とセンスによります。それが十分にないと、解き方は思い付きません。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/01 04:24

a²b+a-b-1

は
aの2次式で、bの1次式だから
次数の小さいbの次数に関して降順に並べる

a²b+a-b-1
=a²b-b+a-1
=b(a²-1)+a-1
=b(a+1)(a-1)+a-1
={b(a+1)+1}(a-1)
=(ab+b+1)(a-1)

No.2 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2025/05/01 01:44

問題のように、複数の種類の文字が含まれている場合、いずれかの文字に注目して、その文字を含むものと含まないものに分けてみると方針が見えてくることが多いです。

aに注目した場合、、、
a²b+a-b-1=(a²b+a)+(-b-1)＝a(ab+1)-(b+1)
これ以上共通因数が見えてきませんので、ここまでです。
次にbに注目した場合、、、
a²b+a-b-1=(a²b-b)+(a-1)＝b(a²-1)-(a+1)=b(a+1)(a-1)+(a-1)
今度は(a²-1)が(a+1)(a-1)と因数分解できますので、共通因数(a-1)が見つかりました。よって、続きは、、、
b(a+1)(a-1)+(a-1)＝(a-1){b(a+1)+1}
このままでも一応間違いではないのですが、{}の中に()がありますので、、、
(a-1){b(a+1)+1}=(a-1)(ab+b+1)
ではいかがでしょうか。

1つの文字がダメだったら、他の文字でも確かめてみてください。
小学校で習った「2ケタの数である割り算の筆算」と同様に、まずは見当をつけてやってみて、違ったら何度でもやり直してみてください。そのうちに勘が育ってきてやり直す回数がどんどん減っていきますから。

※+(a-1)を共通因数(a-1)で割った結果は、+1です。お気をつけください。

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2025/05/01 01:34

a²b＋a－b－1　　前2項にaがあるのでくくる。

a(ab+1)－b－1　これ以上まとまらず失敗、bで括る
b(a²-1)＋a－1　　おお、a²-1は、(a+1)(a-1)だし、
b(a+1)(a-1)＋a－1、a-1が共通！
(a-1)(ab+b+1)　　　できた

どうでしょうか？