ケプラーの第一法則の導出法について

ケプラーの法則の導出に関して、向心方向の運動方程式と面積速度一定から
r=f(θ)
の形で表して楕円軌道に帰着させる方法は理解できたのですが、
r=g(t)
θ=h(t)
のように時間の関数として解くことは出来ないのでしょうか。
３次以上になる微分方程式は解いたことがないのでよくわかりません。
教えていただけると助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： scale--free 回答日時： 2005/06/11 18:19

> r=g(t)

> θ=h(t)
> のように時間の関数として解くことは出来ないのでしょうか。

おそらく難しいと思います。なぜなら、動径r(t)は

dr/dt = √( …… )

という方程式を満足しますが、たぶんこの解をtの関数としては、書き下せないでしょう。

ちなみに、ケプラー運動の軌道を知る方法として、レンツベクトル（ルンゲ・レンツベクトルともいう）を用いる方法もありますよ。

No.3 回答者： Teleskope 回答日時： 2005/06/11 21:19

　

　
　r(θ)は得たのですね。その過程で 万有引力は向心力ゆえ角運動量は変化しない ということから dt を dθ に変えた結果、積分ができたはずですよね。 その、dt とdθ の関係式から二番ダシとして t=g(θ) の形の解が出るはずだったはずです。しかし三角関数で θ=h(t) の形には無理のはず。（円軌道などの特別な場合を除いて。）
　ゆえ、どうしてもと言うならNo.2のような微方を直に数値計算です。
　
　

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2005/06/11 17:18

運動方程式は

ｒ”＝－ｋ・ｒ／｜ｒ｜＾３
です
ｋは正の定数
ｒは３次元ベクトル
面積速度は（ｒ×ｒ’）／２だが
（ｒ×ｒ’）’
＝ｒ’×ｒ’＋ｒ×ｒ”
＝０＋ｒ×ｒ”
＝－ｋ・ｒ×ｒ／｜ｒ｜＾３
＝０
だから面積速度は一定である

ｒ×ｒ’＝ｈ（一定ベクトル）として
ｒ”＝－ｋ・ｒ／｜ｒ｜＾３を解けば
ｒが楕円軌道することを導くことができる