3乗して１になる数

複素数平面を考えて解いてみようとおもって、このように考えました。
まず、１は３乗して１になるのは明白です、なぜ１なのか考えると、たしか複素数平面で０°回転と同じだから１になるとしていた覚えがあります。そうすると、同様な考え方で、三倍して３６０°になる角度で長さが１の棒のようなものが指す点が３乗して１になるものと考えました。
すると角度は、２π＝３θ　∴θ＝２／３πとなりますよね。そうなれば三角比をつかってｘ座標とｙ座標を定めることができますよね。
ｘ座標が

　cos(2/3π)

で、y座標が

　sin(2/3π)

ですよね。そうすると、複素数で表すことができて

　sin(2/3π)i＋cos(2/3π)

と、することはできるのでしょうか？

No.1 回答者： shkwta 回答日時： 2005/07/07 21:58

それで正しいです。

参考URLのド・モアブルの定理で、
θ=(2/3)π、n=3 の場合です。

sin(-2/3π)i＋cos(-2/3π)

も３乗して１になります。

参考URL：http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa2/euler-f/ …

No.2 回答者： verymore 回答日時： 2005/07/07 22:07

できますね。

三角関数でもいいのですが、式を解いて考えてみます。
まず、3乗して1になる数（？）をxと置きます。すると
x^3＝1　左辺から移行して
x^3-1=0　因数分解して
(x-1)(x^2+x+1)=0
左側の括弧からx=1が出ますね。右側から
x^2+x+1=0
を解くと
x=-1/2±√3/2i
これをsin、cosで表示すると
x=cos(2/3π)±sin(2/3π)i
となり質問の式となります。
だから答えは1以外に2個あります。

No.3 回答者： YAMAMAYA#2 回答日時： 2005/07/07 22:15

はい、正解です♪

ちなみに、この方程式をニュートン法で、初期値を複素平面上でいろいろ変えながら解いて、解にたどり着くまでの反復回数をプロットしてゆくと、フラクタル図形になります。

No.4 ベストアンサー 回答者： dahho 回答日時： 2005/07/07 22:30

質問者の考え方で正しいと思います。

１の3乗根は
1と
cos(2π/3)±i sin(2π/3)=-1/2±(√3)/2 i
の3つです。

同じように-1の3乗根は
-1と
cos(π/3)±i sin(π/3)=1/2±(√3)/2 i
の3つです。

1の5乗根は、
1と
cos(2π/5)±i sin(2π/5)と
cos(4π/5)±i sin(4π/5)
の5つです。外接円の半径が1の正五角形の頂点です。

もっと一般的に言えば、
1=exp(2πi n)　（nは整数）
なので、1のx乗根は、
1^(1/x) = exp(2πi n/x)
= cos(2πi n/x) + i sin(2πi n/x)
です。