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複素数平面を考えて解いてみようとおもって、このように考えました。
まず、1は3乗して1になるのは明白です、なぜ1なのか考えると、たしか複素数平面で0°回転と同じだから1になるとしていた覚えがあります。そうすると、同様な考え方で、三倍して360°になる角度で長さが1の棒のようなものが指す点が3乗して1になるものと考えました。
すると角度は、2π=3θ ∴θ=2/3πとなりますよね。そうなれば三角比をつかってx座標とy座標を定めることができますよね。
x座標が

 cos(2/3π)

で、y座標が

 sin(2/3π)

ですよね。そうすると、複素数で表すことができて

 sin(2/3π)i+cos(2/3π)

と、することはできるのでしょうか?

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A 回答 (4件)

質問者の考え方で正しいと思います。


1の3乗根は
1と
cos(2π/3)±i sin(2π/3)=-1/2±(√3)/2 i
の3つです。

同じように-1の3乗根は
-1と
cos(π/3)±i sin(π/3)=1/2±(√3)/2 i
の3つです。

1の5乗根は、
1と
cos(2π/5)±i sin(2π/5)と
cos(4π/5)±i sin(4π/5)
の5つです。外接円の半径が1の正五角形の頂点です。

もっと一般的に言えば、
1=exp(2πi n) (nは整数)
なので、1のx乗根は、
1^(1/x) = exp(2πi n/x)
= cos(2πi n/x) + i sin(2πi n/x)
です。
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はい、正解です♪


ちなみに、この方程式をニュートン法で、初期値を複素平面上でいろいろ変えながら解いて、解にたどり着くまでの反復回数をプロットしてゆくと、フラクタル図形になります。
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できますね。


三角関数でもいいのですが、式を解いて考えてみます。
まず、3乗して1になる数(?)をxと置きます。すると
x^3=1 左辺から移行して
x^3-1=0 因数分解して
(x-1)(x^2+x+1)=0
左側の括弧からx=1が出ますね。右側から
x^2+x+1=0
を解くと
x=-1/2±√3/2i
これをsin、cosで表示すると
x=cos(2/3π)±sin(2/3π)i
となり質問の式となります。
だから答えは1以外に2個あります。
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それで正しいです。


参考URLのド・モアブルの定理で、
θ=(2/3)π、n=3 の場合です。

sin(-2/3π)i+cos(-2/3π)

も3乗して1になります。

参考URL:http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa2/euler-f/ …
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