No.1
- 回答日時:
cos(nθ)=cos{(n-1)θ+θ}で加法定理を使って
漸化式的に積分を解けばできます。
この回答への補足
さっそくの返事ありがとうございました。
ところで漸化式的に解くとはどういうことでしょうか?
基本がしっかりしていなくてすみません。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
留数を求めるため
I=∫C [{(z^n+z^-n)/2}/{(z+z^-1)/2 - cosφ](dz/z)
を考えます。Cを z=re^iθ(r>1の定数)の円周とします。するとdz=ire^iθ・dθ=izdθ だから
I=∫[-π~π] [{(z^n+z^-n)/2}/{(z+z^-1)/2 - cosφ](idθ)
ここで、r→1 として、積分内が偶関数だから
I→(1i)∫[-π~π] {cos nθ/(cosθ-cosφ)}dθ
=(2i)∫[0~π] {cos nθ/(cosθ-cosφ)}dθ ・・・・・(1)
つぎに元に戻りIの留数を計算する。
I=∫C {(z^2n+1)}/{(z^n)(z^2-2cosφ・z+1)}dz
z^2-2cosφ・z+1=0 を解くと、2つの解z=e^±iφ(|e^±iφ|=1)が求まるので
J=∫C {(z^2n+1)}/{(z^n)(z-e^iφ)}(z-e^-iφ)}dz
したがって、r>1の円周の中には3つの極がある。
まず、z=e^±iφの留数を求める。
これは、(e^inφ+e^-inφ)/(e^iφ-e^-iφ)と
(e^-inφ+e^inφ)/(e^-iφ-e^iφ) となり、加えて0になる。
残ったのはz=0の留数である。まともにこれを解くと度つぼにはまるので、一部を級数展開する。
(z^2n+1)/{(z^-n)(z-e^iφ)(z-e^-iφ)}=(z^n+z^-n){1/(z-e^iφ) - 1/(z-e^-iφ)}{1/(e^iφ - e^-iφ)}
=(z^(n-1)+z^-(n+1)){1/(1-(e^iφ/z) - 1/(1-(e^-iφ/z)}(1/2i・sinφ)
この中の分母の2つをそれぞれ級数展開します。
1-(e^±iφ/z)=1+(e^±iφ/z)+...+(e^±iφ/z)^n+...
留数は級数展開したときの 1/z の係数ですから、(z^(n-1)+z^-(n+1))の項の後者(z^-(n+1)) を使ったときは1/zの項はなく無視できます。残りは、前者(z^(n+1)) と級数の各項を掛けたとき 1/z となるものを見つければよいのです。
これは (e^iφ/z)^n と -(e^-iφ/z)^n になりますのでこの係数をたして、結局、Jの留数は
(e^inφ - e^-inφ)/(1/2i・sinφ)=sin nφ/sin φ となります。これの(2πi)は上記の(1)に等しから
求める積分をAとすると
I=2iA=(2πi)sin nφ/sin φ
となり求める式が得られます。
ただし、(1)でr→1とするところなど一部、厳密性に自信がありません。m(_ _)m
ながいので、ミスがあるかもしれませんが大体は合っていると思います。
この回答への補足
詳しい解説ありがとうございました。なかなか難しいもんですね。
いろいろと文献を調べたところ共役フーリエ級数を使って解くみたいです。
文献はいまいち読んでも意味がわからず、留数も良く分からないです。
でもここまで丁寧に説明してくれる人がいてとても嬉しく思います。
どうもありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 sinA+sinBは、A=(α+β),B=(α-β)と置き換えて sin(α+β)=sinαcosβ 2 2022/08/23 08:06
- 数学 数学 三角比 sin80°もsin110°もどちらもcos10°ですか? sin(90°+θ)=co 5 2023/05/07 01:44
- 物理学 物理の問題です。 1 2022/12/20 23:04
- 数学 三角関数教えてください! 3 2022/05/06 19:46
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
- 数学 「n≦-2の時 z≠π/2の時 g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1) z=π/2の時 22 2022/07/04 22:24
- 数学 微分積分の二重積分についての問題がわからないです。 1 2022/07/17 02:36
- 数学 線形代数の行列についての問題がわからないです。 1 2022/07/18 17:46
- 数学 θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開に関して 以外の「」の解答を頂き 13 2022/11/11 09:45
- 数学 座標変換について 1 2022/08/04 16:42
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
三角関数の問題
-
自然対数eは何に使えるのですか...
-
∮sinθcos^2θを置換積分なしで =...
-
cos25° 求め方教えてください。...
-
cos(2/5)πの値は?
-
【数学】コサインシータって何...
-
フーリエ級数|cosx|
-
同値性の崩壊
-
∫[0→π/4] sin^3x/cos^2x dx を...
-
x=rcosθ の微分
-
極座標の偏微分について
-
X5乗-1=0 の因数分解の仕方...
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
(三角関数) (2)でcosθ-1≦0の下...
-
三角関数
-
三角関数。
-
数学の面積の問題について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
複素数の問題について
-
自然対数eは何に使えるのですか...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
積分
-
長方形窓の立体角投射率
-
三角関数
-
Σは二乗されないのですか?
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
cos(2/5)πの値は?
-
複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす...
-
X5乗-1=0 の因数分解の仕方...
-
0 ≦θ ≦πのとき cos(2θ+π/3)=cos...
-
不定積分です
-
(cosθ+isinθ)^2=cos2θ+isin2θ ...
-
cos60°が、なぜ2分の1になるの...
-
三角関数で、
-
cosxのフーリエ級数が分かりま...
おすすめ情報