数IIIの問題で、曲線C:x=cos2θ+3,y=cos2θ+2cosθ-3 (0≦θ≦π)の(x,y)の増減を調べて、概形を描き、曲線Cとx=4で囲まれる図形の面積を求めよ。と言う問題があります。図を描くところまでは出来たのですが、僕の書いた図は、x=4では囲まれないような図形です。描いた図形はxの範囲は2~4でyの範囲は-4~-(9/2)でx=5/2の時に最小値を取るような図形です。僕の間違いを指摘するのはこれだけの情報では難しいと思うので、可能なら、どこが間違ってるのか、あと解法のヒントを教えてください。
No.1
- 回答日時:
縦長の楕円を右回りに傾けたようです。
わたしの計算ではθ=0、π/4、π/2、πx=4、 3、 2、 4
y=0、約1.6、ー4、ー4
だからx=4でかこまれているようです。
解法はcosθ,cos2θの公式を使い(y-x+6)^2=2(cosθ)^2=2(x-2)
からyの2つの式を求めその差が面積になります。
あとはxの値域に注意すればよいです。
ありがとうございます。ただ、
θ=0、π/4、π/2、π
x=4、 3、 2、 4
y=0、約1.6、ー4、ー4
はどういうことを表しているんでしょうか?増減表でしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
各θの値でのx,yの値を示しています。曲線C上のいくつかの点ですが。θ=0のときのXYの座標が(4,0)、θ=π/4のときXYの座標が(3,約1.6)、θ=π/2のときXYの座標が(2,-4)、θ=πのときXYの座標が(4,-4)となるという意味です。
両端のθ=0とπでXが4となるのでx=4の直線と交差すると判断しました。
なるほど!分かりました!一つ気になるのはθ=π/4の時、y=2^(1/2)-3なので約-1.6ですよね?ありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
傾いた楕円になりますか?
x=cos2θ+3 ⇒ dx/dθ=-2sin2θ=-4sinθcosθ
y=cos2θ+2cosθ-3 ⇒ dy/dθ=-2sin2θ-2sinθ=-2sinθ(2cosθ-1)
dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=(2cosθ-1)/2cosθ
∴dy/dx=0 ⇒ cosθ=1/2 ⇒ θ=π/3,2π/3
となりますよ。
あとは、増減表を書いて図を描いてください。
ちゃんとx=4 で囲まれます。
ありがとうございます。
y=cos2θ+2cosθ-3 ⇒ dy/dθ=-2sin2θ-2sinθ=-2sinθ(2cosθ-1)
は
y=cos2θ+2cosθ-3 ⇒ dy/dθ=-2sin2θ-2sinθ=-2sinθ(2cosθ+1)
ですか?(dx/dy)''も<0と>0があります。
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