片持ち梁の振動を利用した実験を行いたいのですが,固有振動数の計算方法に関して不明な点があります.

まず,単純な片持ち梁の固有振動数については下記の式で算出できると思います.

f=(λ/2πL)√(Eg/γ) [Hz]

ただし,
・λ:境界条件,振動モードによって決まる係数
・L:梁の長さ
・E:ヤング率
・γ:梁の単位体積あたりの重さ

さらにこの片持ち梁の先端に質量Wの物体を付加した場合の系の固有振動数の計算方法がわかりません.

実際に実験を行い,固有振動数は計測できているのですが,計算によって理論的に予測したいので,よろしくお願いします.

A 回答 (1件)

 「梁の質量を考慮した」単純な片持ち梁の場合、レーリー法を使って「梁の質量を無視した」片持ち梁の先端に等価質量33/144m(m:梁全体の質量)が付加されている状態とみなせます(この計算は機械振動学の本に載っていると思います)。


 さらにこの片持ち梁の先端に質量Wの物体を付加した場合は等価質量にWを足して最終的な固有振動数は計算すればいいと思います。
 ちなみに「梁の質量を無視した」片持ち梁の先端に質量mを付加した系の固有振動数はf=(1/2π)√(3EI/ml^3)です(I:弾性二次モーメント,l:梁の長さ)。
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Q力学問題(固有振動数の計算)

[問題]
27kg/cmとバネ定数 K2=18kg/cmの2つのスプリングがある。
45kgfの重量がその上にあるとき、固有振動数を計算しなさい。


上記の問題について、計算してみましたが、固有振動数が小さい気がします。
バネ定数k=(N/m)、質量m=(W/g)と考えましたが、単位などが間違っているでしょうか?
どなたか教えてください。よろしくお願いします。


K1= 27(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=2.65(N/m)
K2= 18(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=1.76(N/m)
W = 45(kgf)/ 9.8(m/sec^2)
= 4.6(Kg)

(1)この2つのスプリングを直列にしたとき
1/k= (1/k1)+ (1/ K2)= (1/2.65) + (1/1.76) =0.945
K=1/0.945= 1.06 (N/m)

f=(1/2π)* SQRT(K/m)
=(1/2π)*SQRT(1.06/4.6)
=(1/6.28)*SQRT(0.23)
=(1/6.28)*0.48
=0.48/6.28
=0.076 (HZ)

2)この2つのスプリングを並列にしたとき
  K=K1+K2= 2.65+1.76 = 4.41(N/m)

f=(1/2π)* SQRT(K/m)
=(1/2π)*SQRT(4.41/4.6)
=(1/6.28)*SQRT(0.959)
=(1/6.28)*0.979
=0.979/6.28
=0.156 (HZ)

よろしくおねがいします。







(2)この2つのスプリングを並列にしたとき

[問題]
27kg/cmとバネ定数 K2=18kg/cmの2つのスプリングがある。
45kgfの重量がその上にあるとき、固有振動数を計算しなさい。


上記の問題について、計算してみましたが、固有振動数が小さい気がします。
バネ定数k=(N/m)、質量m=(W/g)と考えましたが、単位などが間違っているでしょうか?
どなたか教えてください。よろしくお願いします。


K1= 27(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=2.65(N/m)
K2= 18(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=1.76(N/m)
W = 45(kgf)/ 9.8(m/sec^2)
= 4.6(Kg)

(...続きを読む

Aベストアンサー

>質量m=45kgf/9.8=4.6kgでは?

 元々、1[kgf](または 1[kgw]とか1[kg重]とも書きます)という力の単位は、地球上で、1[kg]の物体が受ける重力の強さを基準として力の大きさを表したものです。
 つまり、重力W[kgf]を受ける物体の質量は、W[kg]となります。
 kgf(またはkgw)単位を使う利点は、質量の値そのもので重力の大きさを示せる(数値変換をしなくて済む)ところにあります。
 ご質問の、45[kgf]の重力を受ける物体の質量は、数値変換せずに、45[kg]です。

 一方、SI単位系では、運動方程式(F=ma)から力の単位(N(ニュートン))を決定しています。地球上で重力だけを受ける物体の加速度(重力加速度)は、物体によらずg=9.8[m/(s^2)]となっているため、運動方程式に当てはめて、重力を表現すると
重力[N]=質量[kg]×9.8
となりますから、N単位の重力値から質量を求めるには
質量=重力[N]/9.8
としなければならないのです。

 たとえば、441[N]の重力を受けている物体の質量は
441/9.8=45[kg]
となります。


>1kgf=9.8Nなので、m=1kgという解釈ですね。

 お示しになっておられるように、1[kg]の物体に働く力を2つの単位で表してみると
kgfの単位 では、1[kgf]
SI単位系 では、9.8[N]
 ですから、力の単位換算をするときには
 [kgf]単位 → [N]単位 では9.8倍
 [N]単位 → [kgf]単位 では 1/9.8倍
することになります。


 振動数の計算については、結果は妥当な数値だと思います。
 強いていえば、与えられている数値が有効数値2桁なので、計算結果も最終的には有効数値2桁まで四捨五入しておくことをお勧めします。

>質量m=45kgf/9.8=4.6kgでは?

 元々、1[kgf](または 1[kgw]とか1[kg重]とも書きます)という力の単位は、地球上で、1[kg]の物体が受ける重力の強さを基準として力の大きさを表したものです。
 つまり、重力W[kgf]を受ける物体の質量は、W[kg]となります。
 kgf(またはkgw)単位を使う利点は、質量の値そのもので重力の大きさを示せる(数値変換をしなくて済む)ところにあります。
 ご質問の、45[kgf]の重力を受ける物体の質量は、数値変換せずに、45[kg]です。

 一方、SI単位系では...続きを読む

Qテーパーになっている片持ち梁の固有振動数の求め方を教えてください。

テーパーになっている片持ち梁の固有振動数の求め方を教えてください。ソースがあるとうれしいです。

Aベストアンサー

私が専属の回答者のようになりつつありますね? 今回も、誰も書き込まないので、世話焼きの虫がうずいて、出て参りました(笑)。

テーパ形状の梁の固有振動数は、公表されている計算式は存在しないと思います。
実設計では、有限要素法で計算するか、近似計算するかのいずれかで対応しています。
近似計算では、通常の梁の近似計算に準じて、1質点系への置き換えを、次のようにします。
(1質点系の固有振動数は、f=1/2π・√(k/M)で表されます。)

(1)ばね定数kは、直径が、全体の平均値であるような、片持ち梁で近似する。(k=3EI/L^3)
(2)質量Mは、テーパの質量の1/3を先端に加える。

曲げの場合、このようにすると、実際よりも10%ほど低い固有振動数が求まるので、設計上は安全側の値が得られることになると思います。
(要は、1.1倍すれば真の値にもっと近くなるということです。)

梁は、細くて長いもの、という形状的特徴があるので、上記の近似計算は、実用的です。

なお、もう1つの質問(質問番号:4541363)は、ご自分で勉強なさってください。
それがわかるようになるまでまで、もっともっと勉強をする必要があるということです。
あなたはこのサイトに、安易に回答を求める傾向があります。もちろん、仕事でそのような負荷(=実力以上の問題の答を早く出す)をかけられているのでしょうけれど、やはり自分で本を買って(いや、立ち読みでも良いのですが。。。)コツコツと勉強しなければ身につきません。
私はあなたの質問のほとんどに即答できると思いますが、それではあなたの勉強にはならないと思いますし、私も時間が惜しいので、私が興味を持てない限り、また、他の回答者が誤った回答をして、それを訂正する必要がない限り、(あなたの質問に限らず)今後の回答は差し控えたいと思います。(質問番号:4541625は、私の興味を引いたので、回答しました。)

偉そうなことを言いましたが、私の回答が間違っていることもあるので、要注意です!(笑)

私が専属の回答者のようになりつつありますね? 今回も、誰も書き込まないので、世話焼きの虫がうずいて、出て参りました(笑)。

テーパ形状の梁の固有振動数は、公表されている計算式は存在しないと思います。
実設計では、有限要素法で計算するか、近似計算するかのいずれかで対応しています。
近似計算では、通常の梁の近似計算に準じて、1質点系への置き換えを、次のようにします。
(1質点系の固有振動数は、f=1/2π・√(k/M)で表されます。)

(1)ばね定数kは、直径が、全体の平均値である...続きを読む

Q片持ち梁の固有振動数

片持ち梁の振動を利用した実験を行いたいのですが,固有振動数の計算方法に関して不明な点があります.

まず,単純な片持ち梁の固有振動数については下記の式で算出できると思います.

f=(λ/2πL)√(Eg/γ) [Hz]

ただし,
・λ:境界条件,振動モードによって決まる係数
・L:梁の長さ
・E:ヤング率
・γ:梁の単位体積あたりの重さ

さらにこの片持ち梁の先端に質量Wの物体を付加した場合の系の固有振動数の計算方法がわかりません.

実際に実験を行い,固有振動数は計測できているのですが,計算によって理論的に予測したいので,よろしくお願いします.

Aベストアンサー

 「梁の質量を考慮した」単純な片持ち梁の場合、レーリー法を使って「梁の質量を無視した」片持ち梁の先端に等価質量33/144m(m:梁全体の質量)が付加されている状態とみなせます(この計算は機械振動学の本に載っていると思います)。
 さらにこの片持ち梁の先端に質量Wの物体を付加した場合は等価質量にWを足して最終的な固有振動数は計算すればいいと思います。
 ちなみに「梁の質量を無視した」片持ち梁の先端に質量mを付加した系の固有振動数はf=(1/2π)√(3EI/ml^3)です(I:弾性二次モーメント,l:梁の長さ)。

Q固有円振動数と固有振動数

固有円振動数と固有振動数、違いが理解できません。
固有円振動数とは、簡単に言うと何ですか?
そして、固有振動数とは、簡単に言うと何ですか?

共振は、「振動体に固有振動数と等しい振動が外部から加わると、振動の幅が大きくなる現象」とあります。
共振曲線を見ると、縦軸が応答倍率で、横軸が振動数ω/ω0とあります。
なので、だいたい ω/ω0=1 のところで応答倍率は最大となるので、振動体・外部からの振動の固有円振動数が一致したときを「共振」というのだと思っていました。しかも何故横軸が「振動数f/f0」ではなく「振動数ω/ω0」なのでしょうか。

よく理解できていないので、変な質問になってしまっているかもしれませんが、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

 意味から言うと、どっちでも同じですが、学会・業界によって方言があるのも事実です。私も昔「固有振動数があるなら、固有角速度があって何が悪い?」と思ったものですが、「固有円振動数」に統一するよう「指令」を受けました。
 理由を聞けば確かに納得できる話で、そこには先生個人の理由付けから、学会・業界の言い方の常識まで全て関係します。例えば、フーリエスペクトルの横軸Hzを対数にするか線形にするかで、グラフの「見易さ」が違います。そこでふつうは、対数目盛になるし、それしか見た事ない人達が大勢いる事も(くだらないかもしれませんが)理由になります。
 結論として、先生にお聞きする事をお勧めしますが、意味がわかってるなら「気にしない」手もありだと思います(注意されたら、直します)。

Q固有振動数と振幅の関係

素人ですみません。
固有振動数と振幅の関係を教えて欲しいのですが、
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分かりやすく教えて下さい。

Aベストアンサー

#2の方のおっしゃるように,問題設定によるところがあります.
例えば,1つの物体を鳴らしたときは,基本振動に比べてその整数倍の高調波は振動数が高いものほど通常小さくなっていき,それらの混ざり具合が音色になります.

質問者さんの問題は多分固有振動数の異なる物体を鳴らしたときにどうかという趣旨と解釈したのですが,地震の例でも分かるように,柔らかい地盤(固有振動数は小さい)と硬い地盤(固有振動数は大きい)があったとき,震源からの距離が同じでも,地震波の周期(つまりは振動数)と近い値の方が揺れが大きくなって被害が大きくなりやすい傾向があります.
もし質問の意図を取り違っているようなら補足下さい.

Q入力の振動数と、固有振動数と、出力の振動数の関係

入力の振動数をf1
振動体の固有振動数をf0
出力の振動数をf2とすると

振動体が自由振動をするときの
この3つの振動数の関係を教えてもらえないでしょうか?お願いします

Aベストアンサー

自由振動する場合振動体は固有振動数で振動するので出力振動数は一定だと思います。すなわち常にf0=f2

先の回答者も述べていますが、問題が間違っているような気がします。それとも自由振動の意味を問う引っかけ問題なのかな?

入力振動数が関係するなら自由振動ではなく強制振動ということになりますので問題としておかしいです。

自由振動の問題ではなく強制振動の問題なら入力振動と固有振動の関係によって、振幅がどうなるかを問う問題になるのが普通ではないでしょうか?

例えば入力振動数をf1、振動体の固有振動数をf0、入力に対する出力の振幅比をf2とした場合の関係などと

参考までにこの場合、減衰がないとすると、関係がわかるのは(共振曲線などで検索すると出てきます)
f1=f0のとき出力振幅=∞
f1<<f0(f1が極めてf0に比べて小さいとき) f2=1
f1/f0=√2のときf2=1
f1/f0>√2のときf2<1

こんなことを共振曲線を説明させたかったのに、出題ミスをしてしまったような気がします。

Q自由度と固有振動数

画像のようなクレーンの固有振動数を求めたいです
感覚的には二つ求められるような気がするのですが解いてみたところ固有振動数は一つだけ求まりました
そこで質問なのですが
1)この系の自由度はいくつなのでしょうか?
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よろしくお願いします

Aベストアンサー

>dx/dt=Ax (x は2自由度の位置を集めたベクトル)

訂正。ぼけてました。

d^2x/dt^2=Ax (x は2自由度の位置を集めたベクトル)

QR(λ),G(λ),B(λ) =?

 波長λの光が持つ色彩を,パソコンのディスプレイ上で再現したいと思っております。R 値,G 値,B 値の波長の関数,すなわち R(λ),G(λ),B(λ) の式(多少大雑把でも構いません)をご存知の方がおられましたら,是非教えていただきたいと思います。

 よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

興味があったので検索してみました。
同色関数という名前がついているようですね。
(正確にはひとによって違うとおもいますが標準化されているようです。)

参考URL:http://www.cybernet.co.jp/maple/document/hiroba/iro/iro4.html

Q2自由度系の固有振動数

2自由度系の固有振動数

質量mの物体が、ばね定数kの二本のばねで支持されている。
この系の固有振動数は?

解説、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

流れと結果のみ。

運動方程式は

mx1'' = -2kx1 + kx2
mx2'' = kx1 - kx2

となります。最終的に重力項がキャンセルされる点がポイントです。

固有振動数は,

x1=a cosωt
x2=b cosωt

とでも置いて運動方程式に代入し,2式においてb/aが一致する条件から得られるω^2に関する2次方程式を解きます。

結果は,

ω=√{ (3±√5)k/(2m) }

となります。

http://www.youtube.com/watch?v=rua15_51oZ8

Q運動方程式 m(d^2x/dt^2)+kx=0 の固有角振動数、固有周

運動方程式 m(d^2x/dt^2)+kx=0 の固有角振動数、固有周期、固有振動数ってどうやって求めるんですか?

Aベストアンサー

これは簡単な二次の線形微分方程式です。これを解くにはx=exp(λt)と置けばいいのですが、その解は

x=Asinωt+Bcosωt  ω=√k/m となります。これは加法定理を使って

x=C・sin(ωt+δ) C^2=A^2+B^2 δ=arctan(B/A) と変えることができます。

この式の周期が固有振動周期となり、その値はT=2π/ω ですよね。 固有振動数は1/T 固有角振動数はωになります。

ここで気をつけなければいけないのは、t=πのときも t=0 の値に戻って来ますが、その微分値、つまり速度は符号が逆になっているので元に戻ったことにはならず、t=2πになったとき初めて初期値に戻って来たことになることです。だからωT=2πになります。


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