片持ち梁の固有振動数

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  • 質問者：zuc
  • 質問日時：2006/01/20 20:33
  • 回答数：1件

片持ち梁の振動を利用した実験を行いたいのですが，固有振動数の計算方法に関して不明な点があります．

まず，単純な片持ち梁の固有振動数については下記の式で算出できると思います．

f=(λ/2πL)√(Eg/γ) [Hz]

ただし，
・λ：境界条件，振動モードによって決まる係数
・L：梁の長さ
・E：ヤング率
・γ：梁の単位体積あたりの重さ

さらにこの片持ち梁の先端に質量Wの物体を付加した場合の系の固有振動数の計算方法がわかりません．

実際に実験を行い，固有振動数は計測できているのですが，計算によって理論的に予測したいので，よろしくお願いします．

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A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

　「梁の質量を考慮した」単純な片持ち梁の場合、レーリー法を使って「梁の質量を無視した」片持ち梁の先端に等価質量33/144m（m:梁全体の質量）が付加されている状態とみなせます（この計算は機械振動学の本に載っていると思います）。


　さらにこの片持ち梁の先端に質量Wの物体を付加した場合は等価質量にWを足して最終的な固有振動数は計算すればいいと思います。
　ちなみに「梁の質量を無視した」片持ち梁の先端に質量mを付加した系の固有振動数はf=(1/2π)√(3EI/ml^3)です（I:弾性二次モーメント，l:梁の長さ）。
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Q力学問題（固有振動数の計算）

[問題]
２７kg/cmとバネ定数　K２＝１８kg/cmの２つのスプリングがある。
４５ｋｇｆの重量がその上にあるとき、固有振動数を計算しなさい。


上記の問題について、計算してみましたが、固有振動数が小さい気がします。
バネ定数ｋ＝（Ｎ／ｍ）、質量ｍ＝（Ｗ／ｇ）と考えましたが、単位などが間違っているでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。


K1= 27(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=2.65(N/m)
K2= 18(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=1.76(N/m)
W = 45(kgf)/ 9.8(m/sec^2)
= 4.6(Kg)

(1)この２つのスプリングを直列にしたとき
1/k= (1/k1)+ (1/ K2)= (1/2.65) + (1/1.76) =0.945
K=1/0.945= 1.06 (N/m)

f=(1/2π）* SQRT(K/m)
=(1/2π）*SQRT(1.06/4.6)
=(1/6.28)*SQRT(0.23)
=(1/6.28)*0.48
=0.48/6.28
=0.076 (HZ)

２）この2つのスプリングを並列にしたとき
　　K=K1+K2= 2.65+1.76 = 4.41(N/m)

f=(1/2π）* SQRT(K/m)
=(1/2π）*SQRT(4.41/4.6)
=(1/6.28)*SQRT(0.959)
=(1/6.28)*0.979
=0.979/6.28
=0.156 (HZ)

よろしくおねがいします。







(2)この２つのスプリングを並列にしたとき

[問題]
２７kg/cmとバネ定数　K２＝１８kg/cmの２つのスプリングがある。
４５ｋｇｆの重量がその上にあるとき、固有振動数を計算しなさい。


上記の問題について、計算してみましたが、固有振動数が小さい気がします。
バネ定数ｋ＝（Ｎ／ｍ）、質量ｍ＝（Ｗ／ｇ）と考えましたが、単位などが間違っているでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。


K1= 27(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=2.65(N/m)
K2= 18(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=1.76(N/m)
W = 45(kgf)/ 9.8(m/sec^2)
= 4.6(Kg)

(...続きを読む

Aベストアンサー

>質量ｍ＝４５ｋｇｆ/9.8=4.6kgでは？

　元々、１[kgf]（または　１[kgw]とか１[kg重]とも書きます）という力の単位は、地球上で、１[kg]の物体が受ける重力の強さを基準として力の大きさを表したものです。
　つまり、重力Ｗ[kgf]を受ける物体の質量は、Ｗ[kg]となります。
　kgf(またはkgw)単位を使う利点は、質量の値そのもので重力の大きさを示せる（数値変換をしなくて済む）ところにあります。
　ご質問の、４５[kgf]の重力を受ける物体の質量は、数値変換せずに、４５[kg]です。

　一方、ＳＩ単位系では、運動方程式（Ｆ=ｍａ）から力の単位（N（ニュートン))を決定しています。地球上で重力だけを受ける物体の加速度（重力加速度）は、物体によらずｇ＝9.8[m/(s^2)]となっているため、運動方程式に当てはめて、重力を表現すると
重力[N]＝質量[kg]×9.8
となりますから、Ｎ単位の重力値から質量を求めるには
質量＝重力[N]/9.8
としなければならないのです。

　たとえば、４４１[N]の重力を受けている物体の質量は
４４１/9.8＝４５[kg]
となります。


>１ｋｇｆ＝9.8Ｎなので、m=1kgという解釈ですね。

　お示しになっておられるように、１[kg]の物体に働く力を２つの単位で表してみると
kgfの単位　では、１[kgf]
SI単位系　では、９.８[N]
　ですから、力の単位換算をするときには
　[kgf]単位　→　[N]単位　では９.８倍
　[N]単位　→　[kgf]単位　では　１/９.８倍
することになります。


　振動数の計算については、結果は妥当な数値だと思います。
　強いていえば、与えられている数値が有効数値２桁なので、計算結果も最終的には有効数値２桁まで四捨五入しておくことをお勧めします。

>質量ｍ＝４５ｋｇｆ/9.8=4.6kgでは？

　元々、１[kgf]（または　１[kgw]とか１[kg重]とも書きます）という力の単位は、地球上で、１[kg]の物体が受ける重力の強さを基準として力の大きさを表したものです。
　つまり、重力Ｗ[kgf]を受ける物体の質量は、Ｗ[kg]となります。
　kgf(またはkgw)単位を使う利点は、質量の値そのもので重力の大きさを示せる（数値変換をしなくて済む）ところにあります。
　ご質問の、４５[kgf]の重力を受ける物体の質量は、数値変換せずに、４５[kg]です。

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テーパ形状の梁の固有振動数は、公表されている計算式は存在しないと思います。
実設計では、有限要素法で計算するか、近似計算するかのいずれかで対応しています。
近似計算では、通常の梁の近似計算に準じて、１質点系への置き換えを、次のようにします。
（１質点系の固有振動数は、ｆ＝1/2π・√(ｋ/Ｍ)で表されます。）

（１）ばね定数ｋは、直径が、全体の平均値であるような、片持ち梁で近似する。（ｋ＝3ＥＩ/Ｌ^3）
（２）質量Ｍは、テーパの質量の1/3を先端に加える。

曲げの場合、このようにすると、実際よりも10%ほど低い固有振動数が求まるので、設計上は安全側の値が得られることになると思います。
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なお、もう１つの質問(質問番号：4541363)は、ご自分で勉強なさってください。
それがわかるようになるまでまで、もっともっと勉強をする必要があるということです。
あなたはこのサイトに、安易に回答を求める傾向があります。もちろん、仕事でそのような負荷（＝実力以上の問題の答を早く出す）をかけられているのでしょうけれど、やはり自分で本を買って（いや、立ち読みでも良いのですが。。。）コツコツと勉強しなければ身につきません。
私はあなたの質問のほとんどに即答できると思いますが、それではあなたの勉強にはならないと思いますし、私も時間が惜しいので、私が興味を持てない限り、また、他の回答者が誤った回答をして、それを訂正する必要がない限り、（あなたの質問に限らず）今後の回答は差し控えたいと思います。（質問番号：4541625は、私の興味を引いたので、回答しました。）

偉そうなことを言いましたが、私の回答が間違っていることもあるので、要注意です！(笑)

私が専属の回答者のようになりつつありますね？　今回も、誰も書き込まないので、世話焼きの虫がうずいて、出て参りました(笑)。

テーパ形状の梁の固有振動数は、公表されている計算式は存在しないと思います。
実設計では、有限要素法で計算するか、近似計算するかのいずれかで対応しています。
近似計算では、通常の梁の近似計算に準じて、１質点系への置き換えを、次のようにします。
（１質点系の固有振動数は、ｆ＝1/2π・√(ｋ/Ｍ)で表されます。）

（１）ばね定数ｋは、直径が、全体の平均値である...続きを読む

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ただし，
・λ：境界条件，振動モードによって決まる係数
・L：梁の長さ
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・γ：梁の単位体積あたりの重さ

さらにこの片持ち梁の先端に質量Wの物体を付加した場合の系の固有振動数の計算方法がわかりません．

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　「梁の質量を考慮した」単純な片持ち梁の場合、レーリー法を使って「梁の質量を無視した」片持ち梁の先端に等価質量33/144m（m:梁全体の質量）が付加されている状態とみなせます（この計算は機械振動学の本に載っていると思います）。
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例えば入力振動数をf1、振動体の固有振動数をf0、入力に対する出力の振幅比をf2とした場合の関係などと

参考までにこの場合、減衰がないとすると、関係がわかるのは（共振曲線などで検索すると出てきます）
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流れと結果のみ。

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x1=a cosωt
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結果は，

ω=√{ (3±√5)k/(2m) }

となります。

http://www.youtube.com/watch?v=rua15_51oZ8

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この式の周期が固有振動周期となり、その値はＴ＝2π／ω　ですよね。　固有振動数は1/T 固有角振動数はωになります。

ここで気をつけなければいけないのは、ｔ=πのときも　t=０　の値に戻って来ますが、その微分値、つまり速度は符号が逆になっているので元に戻ったことにはならず、ｔ=2πになったとき初めて初期値に戻って来たことになることです。だからωT=2πになります。

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