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片持ち梁の固有振動数

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  • 質問者：zuc
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

片持ち梁の振動を利用した実験を行いたいのですが，固有振動数の計算方法に関して不明な点があります．

まず，単純な片持ち梁の固有振動数については下記の式で算出できると思います．

f=(λ/2πL)√(Eg/γ) [Hz]

ただし，
・λ：境界条件，振動モードによって決まる係数
・L：梁の長さ
・E：ヤング率
・γ：梁の単位体積あたりの重さ

さらにこの片持ち梁の先端に質量Wの物体を付加した場合の系の固有振動数の計算方法がわかりません．

実際に実験を行い，固有振動数は計測できているのですが，計算によって理論的に予測したいので，よろしくお願いします．

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A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

　「梁の質量を考慮した」単純な片持ち梁の場合、レーリー法を使って「梁の質量を無視した」片持ち梁の先端に等価質量33/144m（m:梁全体の質量）が付加されている状態とみなせます（この計算は機械振動学の本に載っていると思います）。


　さらにこの片持ち梁の先端に質量Wの物体を付加した場合は等価質量にWを足して最終的な固有振動数は計算すればいいと思います。
　ちなみに「梁の質量を無視した」片持ち梁の先端に質量mを付加した系の固有振動数はf=(1/2π)√(3EI/ml^3)です（I:弾性二次モーメント，l:梁の長さ）。
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Q固有振動数は何で決まる

すみません素人です．
固有振動数は物体の質量や剛性などいろいろな要素で決まるのだと思いますが，普遍的に？重要な要素は何でしょうか？
素人に分かるように教えて頂けるとありがたいです．

Aベストアンサー

>体の大きさが同じであれば、速度（弾性波速度？）が早いほど固有振動数も大きくなるという理解でよいですか？

そうですね。
速度（m/s)/波長(m)が周波数(Hz)です。
Hzはその昔はサイクル(c/s)と言う単位で呼ばれ、サイクル・パー・セカンドと言う非常に分かりやすい単位だったのですがヘルツと言う人の名前に変わってしまいました。

剛性の高い棒ほど高い音が出る事は日常生活の中でも体験されている事と思います。

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Q力学問題（固有振動数の計算）

[問題]
２７kg/cmとバネ定数　K２＝１８kg/cmの２つのスプリングがある。
４５ｋｇｆの重量がその上にあるとき、固有振動数を計算しなさい。


上記の問題について、計算してみましたが、固有振動数が小さい気がします。
バネ定数ｋ＝（Ｎ／ｍ）、質量ｍ＝（Ｗ／ｇ）と考えましたが、単位などが間違っているでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。


K1= 27(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=2.65(N/m)
K2= 18(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=1.76(N/m)
W = 45(kgf)/ 9.8(m/sec^2)
= 4.6(Kg)

(1)この２つのスプリングを直列にしたとき
1/k= (1/k1)+ (1/ K2)= (1/2.65) + (1/1.76) =0.945
K=1/0.945= 1.06 (N/m)

f=(1/2π）* SQRT(K/m)
=(1/2π）*SQRT(1.06/4.6)
=(1/6.28)*SQRT(0.23)
=(1/6.28)*0.48
=0.48/6.28
=0.076 (HZ)

２）この2つのスプリングを並列にしたとき
　　K=K1+K2= 2.65+1.76 = 4.41(N/m)

f=(1/2π）* SQRT(K/m)
=(1/2π）*SQRT(4.41/4.6)
=(1/6.28)*SQRT(0.959)
=(1/6.28)*0.979
=0.979/6.28
=0.156 (HZ)

よろしくおねがいします。







(2)この２つのスプリングを並列にしたとき

[問題]
２７kg/cmとバネ定数　K２＝１８kg/cmの２つのスプリングがある。
４５ｋｇｆの重量がその上にあるとき、固有振動数を計算しなさい。


上記の問題について、計算してみましたが、固有振動数が小さい気がします。
バネ定数ｋ＝（Ｎ／ｍ）、質量ｍ＝（Ｗ／ｇ）と考えましたが、単位などが間違っているでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。


K1= 27(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=2.65(N/m)
K2= 18(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=1.76(N/m)
W = 45(kgf)/ 9.8(m/sec^2)
= 4.6(Kg)

(...続きを読む

Aベストアンサー

>質量ｍ＝４５ｋｇｆ/9.8=4.6kgでは？

　元々、１[kgf]（または　１[kgw]とか１[kg重]とも書きます）という力の単位は、地球上で、１[kg]の物体が受ける重力の強さを基準として力の大きさを表したものです。
　つまり、重力Ｗ[kgf]を受ける物体の質量は、Ｗ[kg]となります。
　kgf(またはkgw)単位を使う利点は、質量の値そのもので重力の大きさを示せる（数値変換をしなくて済む）ところにあります。
　ご質問の、４５[kgf]の重力を受ける物体の質量は、数値変換せずに、４５[kg]です。

　一方、ＳＩ単位系では、運動方程式（Ｆ=ｍａ）から力の単位（N（ニュートン))を決定しています。地球上で重力だけを受ける物体の加速度（重力加速度）は、物体によらずｇ＝9.8[m/(s^2)]となっているため、運動方程式に当てはめて、重力を表現すると
重力[N]＝質量[kg]×9.8
となりますから、Ｎ単位の重力値から質量を求めるには
質量＝重力[N]/9.8
としなければならないのです。

　たとえば、４４１[N]の重力を受けている物体の質量は
４４１/9.8＝４５[kg]
となります。


>１ｋｇｆ＝9.8Ｎなので、m=1kgという解釈ですね。

　お示しになっておられるように、１[kg]の物体に働く力を２つの単位で表してみると
kgfの単位　では、１[kgf]
SI単位系　では、９.８[N]
　ですから、力の単位換算をするときには
　[kgf]単位　→　[N]単位　では９.８倍
　[N]単位　→　[kgf]単位　では　１/９.８倍
することになります。


　振動数の計算については、結果は妥当な数値だと思います。
　強いていえば、与えられている数値が有効数値２桁なので、計算結果も最終的には有効数値２桁まで四捨五入しておくことをお勧めします。

>質量ｍ＝４５ｋｇｆ/9.8=4.6kgでは？

　元々、１[kgf]（または　１[kgw]とか１[kg重]とも書きます）という力の単位は、地球上で、１[kg]の物体が受ける重力の強さを基準として力の大きさを表したものです。
　つまり、重力Ｗ[kgf]を受ける物体の質量は、Ｗ[kg]となります。
　kgf(またはkgw)単位を使う利点は、質量の値そのもので重力の大きさを示せる（数値変換をしなくて済む）ところにあります。
　ご質問の、４５[kgf]の重力を受ける物体の質量は、数値変換せずに、４５[kg]です。

　一方、ＳＩ単位系では...続きを読む

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Q固有振動数

物理で波動について学んでいます。
先日、固有振動数という言葉が出てきたんですけどこれはいったいなんなのでしょう？
わかりやすく教えてくれませんか。

あとその後に基本振動、２倍振動と出てきたんですがまた別物ですか？
これも何か教えてほしいです。
物理できる方教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

　誤解を恐れずにいうと、固有振動数というのは、その物体が自然に振動するときの振動数です。

　例えばブランコに人が乗って揺れているとき、ある振動数で揺れますね。この揺れているときの振動がそのブランコ（と人）の「固有振動」で、その振動数を「固有振動数」といいます。
　このブランコを別の人が押してあげるとき、この振動数に合わせて押すと大きく揺らすことができますが、違う振動数で押してもうまく揺れません。固有振動数に合わせた振動が外から加わって揺れが大きくなる現象を「共振」といいます。（音の場合は共鳴ともいいます。）

＞基本振動、２倍振動と出てきたんですがまた別物ですか？

　固有振動は一つとは限りません。たとえばギターの弦を振動させるとき、普通に弦をはじくときの振動以外に、弦の中央をさわりながら弦をはじくと、２倍の振動数で振動します。（「中央を押さえて」ではなく、「中央をさわりながら」で、振動しているときは全体が振動している状態。ギター奏法では「ハーモニクス」というらしい）

　固有振動のうち、振動数の一番小さい振動を「基本振動」といい、ギター弦で中央をさわりながらはじいたときのような振動を「２倍振動」といいます。

　なお、２倍だけでなく「３倍振動」「４倍振動」……もあります。いずれも固有振動です。

　誤解を恐れずにいうと、固有振動数というのは、その物体が自然に振動するときの振動数です。

　例えばブランコに人が乗って揺れているとき、ある振動数で揺れますね。この揺れているときの振動がそのブランコ（と人）の「固有振動」で、その振動数を「固有振動数」といいます。
　このブランコを別の人が押してあげるとき、この振動数に合わせて押すと大きく揺らすことができますが、違う振動数で押してもうまく揺れません。固有振動数に合わせた振動が外から加わって揺れが大きくなる現象を「共振」といい...続きを読む

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QNをkgに換算するには？

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか？一応断面積は40mm^2です。
1N＝9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか？
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

ｋｇｆはＳＩ単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


＞＞＞
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか？

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Ｎの力で引っ張るのと同じですか？」
ということですか？

・・・であるとして、回答します。

４０ｋｇのおもりなので、「おもりにかかる重力」は４０ｋｇｆです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに４０ｋｇｆの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

４０ｋｇｆ　＝　４０ｋｇ×重力加速度
　＝　４０ｋｇ×９．８ｍ／ｓ^2
　＝　だいたい４００Ｎ

あるいは、
１０２グラム（０．１０２ｋｇ）の物体にかかる重力が１Ｎなので、
４０ｋｇ　÷　０．１０２ｋｇ／Ｎ　＝　だいたい４００Ｎ


＞＞＞1N＝9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか？

いえ。
１ｋｇｆ　＝　９．８Ｎ
ですね。


＞＞＞一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、４００Ｎを断面積で割るだけです。
４００Ｎ／４０ｍｍ^2　＝　１０Ｎ／ｍｍ^2　＝　１０^7　Ｎ／ｍ^2
１Ｎ／ｍ^2 の応力、圧力を１Ｐａ（パスカル）と言いますから、
１０^7　Ｐａ　（１千万パスカル）　ですね。

こんにちは。

ｋｇｆはＳＩ単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


＞＞＞
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか？

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Ｎの力で引っ張るのと同じですか？」
ということですか？

・・・であるとして、回答します。

４０ｋｇのおもりなので、「おもりにかかる重力」は４０ｋｇ...続きを読む

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Qモードとはなんですか？

　解析ソフトを使って固体の固有値解析（固有振動数解析）を行うとモードという言葉が出てきます。モードとはなんですか？モード形状によって固有振動数が変化するのはどうしてでしょうか？
「モード形状1で200Hzの固有振動数が検出された」という結果であったら、どのような条件下で200Hzの振動が得られたということなのでしょうか？
　モード形状1ならば固有振動数は手計算の結果（片面支持で材料の長さ、密度、ポアソン比、ヤング率を公式に代入）と近似するのですがモード形状が上がるに従って固有振動数が上がっていきます。

Aベストアンサー

物理、特に振動解析の世界で「モード」と言ったら、通常は振動の態様のことを指します。

両端を固定した弦の振動で考えてみます。

[両端を固定した弦」

○──────○

ご承知かと思いますが、もっとも低い次数の振動(基本波)は以下のような振動形態を示します。

[基本波]
　　　＿＿
　　／　　＼　
○／　　　　＼○

より高い次数の振動の振動の態様は以下のようになります。

[第二次高調波](2倍振動)
　　＿　
○／　＼　　　○
　　　　＼　／
　　　　　￣

[第三次高調波](3倍振動)
　　
○／＼　　／＼○
　　　＼／

このような振動態様のことを「モード」といい、「振動モードが異なる」などと言います。

さらに剛体棒であれば弦と異なり、横振動、ねじり振動、縦振動などの異なる種類の振動が現れます。それぞれどんな変形をするかは参考ページ[1]を見てください。これらの変形の違いのことも「モード」と呼び、例えば「横振動モードの1次の固有振動数は○○Hz」などと言います。

isaccさんがどのようなソフトを使っておいでなのかどのような計算をなさっているか分からないので「モード1」がどんなものであるかは断言できないのですが、「横振動、ねじり振動、縦振動」などの違いを指している可能性も考えられます。横振動、ねじり振動、縦振動ではそれぞれ解くべき方程式が異なる(本質的には2次の微分方程式に帰着するのですが、代入する物理量が異なる)ので、固有振動数も当然ながら異なったものになります。
また「モード形状が上がるにつれて」が、振動の次数が上がる意味であれば当然ながら固有振動数も上がります。

[1] http://exile.itc.pref.tokushima.jp/report/femop/mode-post2/default.htm

参考URL：http://exile.itc.pref.tokushima.jp/report/femop/mode-post2/default.htm

物理、特に振動解析の世界で「モード」と言ったら、通常は振動の態様のことを指します。

両端を固定した弦の振動で考えてみます。

[両端を固定した弦」

○──────○

ご承知かと思いますが、もっとも低い次数の振動(基本波)は以下のような振動形態を示します。

[基本波]
　　　＿＿
　　／　　＼　
○／　　　　＼○

より高い次数の振動の振動の態様は以下のようになります。

[第二次高調波](2倍振動)
　　＿　
○／　＼　　　○
　　　　＼　／
　　　　　￣

[第三次高調波](3倍振動)
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Q片持ち梁のバネ定数の求め方

片持ち梁のバネ定数の求め方を教えて下さい。どうも係数に12がついているのが納得できません。

Aベストアンサー

No.1 の Linandtete です。
はりが長方形断面であり、その荷重方向厚さが w、力と直角方向の（幅と言えますが）長さが t であれば、断面２次モーメントは I=tw^3/12 で得られます。
なお、k=12EI/L^3 と表されるばね定数は、片持ちばり荷重端で回転を拘束した場合の値に相当します。ばね定数をより一般的な形にすれば「要素剛性行列」という概念に達し、そこでしばしば使われる値ですから、 誤植か勘違いされた「解答」だと思われます。

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Q固有振動数と振幅の関係

素人ですみません。
固有振動数と振幅の関係を教えて欲しいのですが、
例えば、固有振動数が小さい振幅が小さく
固有振動数が大きいと振幅も大きくなる
といったものがあるのかどうなのか？
また、無関係なのか
分かりやすく教えて下さい。

Aベストアンサー

#2の方のおっしゃるように，問題設定によるところがあります．
例えば，１つの物体を鳴らしたときは，基本振動に比べてその整数倍の高調波は振動数が高いものほど通常小さくなっていき，それらの混ざり具合が音色になります．

質問者さんの問題は多分固有振動数の異なる物体を鳴らしたときにどうかという趣旨と解釈したのですが，地震の例でも分かるように，柔らかい地盤(固有振動数は小さい)と硬い地盤(固有振動数は大きい)があったとき，震源からの距離が同じでも，地震波の周期(つまりは振動数)と近い値の方が揺れが大きくなって被害が大きくなりやすい傾向があります．
もし質問の意図を取り違っているようなら補足下さい．

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Q固有円振動数と固有振動数

固有円振動数と固有振動数、違いが理解できません。
固有円振動数とは、簡単に言うと何ですか？
そして、固有振動数とは、簡単に言うと何ですか？

共振は、「振動体に固有振動数と等しい振動が外部から加わると、振動の幅が大きくなる現象」とあります。
共振曲線を見ると、縦軸が応答倍率で、横軸が振動数ω/ω0とあります。
なので、だいたい ω/ω0=1 のところで応答倍率は最大となるので、振動体・外部からの振動の固有円振動数が一致したときを「共振」というのだと思っていました。しかも何故横軸が「振動数f/f0」ではなく「振動数ω/ω0」なのでしょうか。

よく理解できていないので、変な質問になってしまっているかもしれませんが、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

　意味から言うと、どっちでも同じですが、学会・業界によって方言があるのも事実です。私も昔「固有振動数があるなら、固有角速度があって何が悪い？」と思ったものですが、「固有円振動数」に統一するよう「指令」を受けました。
　理由を聞けば確かに納得できる話で、そこには先生個人の理由付けから、学会・業界の言い方の常識まで全て関係します。例えば、フーリエスペクトルの横軸Hzを対数にするか線形にするかで、グラフの「見易さ」が違います。そこでふつうは、対数目盛になるし、それしか見た事ない人達が大勢いる事も（くだらないかもしれませんが）理由になります。
　結論として、先生にお聞きする事をお勧めしますが、意味がわかってるなら「気にしない」手もありだと思います（注意されたら、直します）。

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Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント＝慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね？

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか？

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。＃３の説明は，理解するには良い方法と思いますが，厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると，慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力，つまり，物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率，つまり，回転に関する係数です。合わせて，回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも，適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで，慣性モーメントとは，動力学では，回転運動に対する抵抗係数で，静力学では，回転変形（曲げ変形）に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は，一般的に解釈すれば，「慣性モーメントは，物体が物体の任意の軸に関して，物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の２乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合，この微小部分が微小質量であり，断面２次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで，
＞「材料力学では」断面二次モーメント＝慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが，ここでは，「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも，こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが，私の理解している内容を文章にしただけですので，ほぼ合っていると思いますが，多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。＃３の説明は，理解するには良い方法と思いますが，厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると，慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力，つまり，物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率，つまり，回転に関する係数です。合わせて，回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも，適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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Qヤングの係数とバネ定数の関係

ヤングの係数とバネ定数の関係って横か縦かの違いで同じような定数ですけど
これらって相関関係とかってあるのでしょうか？
ありましたらその式などを教えて下さい。

Aベストアンサー

＞横か縦かの違いで同じような定数・・・
　ここがちょっと気になりました。横弾性係数（せん断弾性係数），縦弾性係数（ヤング率）とバネ定数という事であれば、ちょっと微妙です（発想は同じですけど）。

　以下、#1さんと同じように、一様な弾性体でできた棒で考え、ヤング率とは縦弾性係数の事であると限定します。

　既にお気づきのように、ヤング率とバネ定数の意味は、実質的に同じなんじゃないかと問われれば、その通りです。ある材料で出来た一本の棒の伸び縮みを考えるには、ヤング率でもバネ定数でも、同じように記述できます。では何故、ヤング率を使うのか？。
　ある材料で出来た一本の棒を与えれば、もちろんバネ定数は一個に決まります。しかし並列バネ，直列バネの関係はご存知ですよね？。

　棒を縦に連結すれば（直列バネ）、本数に反比例してバネ定数は小さくなります（材質は同じなのに！）。棒を横に束ねれば（並列バネ）、本数に比例してバネ定数は大きくなります（材質は同じなのに！）。
　これって意味はわかるけど、不便じゃない？って話です。だったら単位長さ当たり（直列バネの規格化），単位断面積当たり（並列バネの規格化）のバネ定数を考えれば、良いはずだ、となります。それで、

　ｋ＝ＥＡ／Ｌ

となります。ここでｋは棒のバネ定数，Ｅは棒の材質のヤング率，Ａは棒の断面積，Ｌは棒の長さです。上記関係式をうまく使えるように、応力も歪も定義されます。

　最初は、こんな発想だったのかしら？、と思っています。

＞横か縦かの違いで同じような定数・・・
　ここがちょっと気になりました。横弾性係数（せん断弾性係数），縦弾性係数（ヤング率）とバネ定数という事であれば、ちょっと微妙です（発想は同じですけど）。

　以下、#1さんと同じように、一様な弾性体でできた棒で考え、ヤング率とは縦弾性係数の事であると限定します。

　既にお気づきのように、ヤング率とバネ定数の意味は、実質的に同じなんじゃないかと問われれば、その通りです。ある材料で出来た一本の棒の伸び縮みを考えるには、ヤング率でもバネ定...続きを読む

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