２の虚数乗は複素数になるか？

虚数iの2乗は-1になると習ったことがあります。
では、2のi乗は複素数になるのでしょうか？
私の知っている限り、複素数はa+ib(a,bは実数)となるように習ったと思います。
オイラーの式でeのiπ乗は-1になることも習ったことがあります。
しかし、eの場合は特別なのではないかと思います。
虚数乗の意味もわかりません。
このような計算は許されていないのでしょうか？
教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/03/11 14:18

虚数による累乗は定義されています

e^{iπ}=cosπ+sinπ=-1です．
これは
e^{iθ}=cosθ+isinθ
からスタートしています．

これを細工します．
2=e^{log2}
ですので
2^i = e^{ilog2} = cos(log2)+isin(log(2))
となります

指数の場合，指数関数を複素数の領域にまで
拡張できるということだけ（とはいっても重要）ですが，
複素数の対数関数には（それから発する）
深い議論があります．
＃興味があれば「リーマン面」「解析接続」とかで
＃ぐぐってください

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。logが使われるのですね。わかりました。謎が解けました。

お礼日時：2006/03/11 14:23