関数 f(x^n)

『f(x)=x^2+ax+bとしたとき、f(x^n)がf(x)で割り切れるような自然数nを求めよ』なのですが、n＞1のときはさっぱりわかりません（苦笑）レポートというわけでもありませんが、方針だけ教えていただければ幸いです。よろしくお願いします。

No.7 回答者： yoikagari 回答日時： 2006/03/18 22:56

take008さんの考えを一般化してみます。

「f(x)=Σ_[i=0]^m{(a_i)x^i}
さらにf(x)が{x^(n-1)}-1を割り切ると仮定すると
f(x^n)はf(x)で割り切れます。

証明
f(x^n)=f(x^n)-f(x)+f(x)=Σ_[i=0]^m[(a_i){x^(ni)-x^i}]+f(x)

x^(ni)-x^i=x^i*(x^{(n-1)i}-1)=x^i*{x^(n-1)-1}*(x^{(n-1)(i-1)}+x^{(n-1)(i-2)}+・・・+1)
ですからx^(ni)-x^iはf(x)で割り切れます。

したがって、
f(x^n)=Σ_[i=0]^m[(a_i){x^(ni)-x^i}]+f(x)もf(x)で割り切れます。

g(x)=x^kのとき、明らかにg(x^k)=x^(kn)もg(x)=x^kで割り切れます。
(nは任意の自然数)

したがって、h(x)=f(x)g(x)とすると、h(x^n)もh(x)で割り切れることがわかります。」

No.6 回答者： take008 回答日時： 2006/03/17 14:06

No.5 の訂正です。

ｎ＝ｋの倍数+1 のとき ｆ(ｘ^n) は ｆ(ｘ) で割り切れます。
　↓
ｎ＝ｋの倍数±1 のとき ｆ(ｘ^n) は ｆ(ｘ) で割り切れます。

この場合，ｎ＝６ｍ＋１ が答えです。
　↓
この場合，ｎ＝６ｍ±１ が答えです。

No.5 回答者： take008 回答日時： 2006/03/17 10:11

＃３さんのご指摘どおり，＃２で「３とおりある」と書いたのは，f(x)=0 が実数解をもつものだけしか数えていないので，間違いでした。

ｘ^k＝１ の虚数解の１つを α，その共役複素数を β ，
ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)(ｘ－β)＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ
とおくと（ａは実数，ｂ＝１ になる），
ｎ＝ｋの倍数+1 のとき ｆ(ｘ^n) は ｆ(ｘ) で割り切れます。

元々の問題は，任意のａ，ｂでなく，このようなものの１つ，たとえば
ｆ(ｘ)＝ｘ^2－ｘ＋１
だったのではないでしょうか。
この場合，ｎ＝６ｍ＋１ が答えです。

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2006/03/16 23:29

ご指摘のように、問題の誤りと思いますが、その上で答えると、完全平方式を認めるなら、答えは5個だと思います。

f(x)＝(x-α)(x-β)とする。
α＝βの場合は、別と考えるとして、f(x＾n)＝(x＾n-α)(x＾n-β)がf(x)で割り切れるためには、以下が必要十分。
(α＾n-α)(α＾n-β)＝0、(β＾n-α)(β＾n-β)＝0。
後は、計算問題。

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/03/16 22:44

問題がおかしいように思うのは

No.2さんと同感です
No.2さんの提示された問題が正しいとして
三つですか？
もっとありませんか？

f(x)=x^2
=> f(x^n)=x^n=(x^2)(x^{n-2})

f(x)=x^2+1
=> f(x^3)=x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)

f(x)=x^2-1
=> f(x^3)=x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)

f(x)=x^2-x =x(x-1)
=> f(x^n)=x^{2n}-x^n=x^n(x^{n}-1)

f(x)=x^2+x =x(x+1)
=> f(x^n)=x^{2n}+x^n=x^n(x^{n}+1)

係数として複素数までひろげたら
-1か1のn-1乗根を使って他にもいくつか
でてきそうです．

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おおざっぱな計算をしてみます
＃いわゆる「発見的な計算」ってやつです

f(x)の解をA，Bとします
f(x^n)がf(x)で割り切れるだから
f(A^n)=A^{2n}+a A^n+b=0
f(B^n)=B^{2n}+a B^n+b=0
引き算して
A^{2n}-B^{2n}+a A^n - b B^n=0
(A^n-B^n)(A^n+B^n)= a (A^n-B^n)
A^n-B^n でばさっとわって(*1)
A^n+B^n = a
aはもともとf(x)=0の解だから解と係数の関係で
A+B=-a
よって
A^n+B^n= -(A+B)
だから
A^n+B^n=-(A+B)を満たすようなA,Bを
解にもつ二次式を探してみるわけです．
一方，(*1)でばっさりやっちゃいましたが
A^n=B^nのケースもあわせて考えてみると
上で例示したような具体例がでてきますよね．

No.2 回答者： take008 回答日時： 2006/03/16 21:44

問題が違っているような気がします。

「ｆ(ｘ^n) が ｆ(ｘ) で割り切れる ｎ＞１ があるような ａ，ｂ（すなわち ｆ(ｘ)）を求めよ。」
ではないですか。
そのような ｆ(x) は３つあります。

No.1 回答者： neuro-scientist 回答日時： 2006/03/16 21:03

はじめまして。

そーですね、f(x^n)がf(x)で割り切れるんですから、その商となる関数g(x)を考えてはどうでしょう？f(x)はxの2次式、f(x^n)はxの2n次式。ではg(x)は何次式でないといけないか・・・こんなことを考えていけばよろしいのでは？？