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 関数f(x,y,z)=0という曲面があって曲面上のある点Pの接平面を求めるとき
 Fx*X'+Fy*Y'+Fz*Z=0という式が出ます。
この式の意味するところはFx Fy FzがP点での法線ベクトルのx y z成分になるということらしいのですがよく理解出来ません。何故偏微分が法線ベクトルの成分になるのでしょうか?教えてください!

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A 回答 (5件)

>>斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。


>ここがよく分かりません。Fx=x-y平面でx方向のみ移動させた時のZの増加率になりますよね。何故これが法線ベクトルのx方向になるかが分かりません。

ここで言ったのは、(Fx,Fy)というベクトルが、"最大の勾配の方向"を与えるということです。
つまり、斜面にボールを置いたとき、-(Fx,Fy)の方向に転がるということです。
そして、"最大の勾配の方向"は等高線と垂直なはずだから、(Fx,Fy)は等高線の法線と同じ方向だと分かる。
ということなのですが、これで質問の回答になっているでしょうか…。

以下、(Fx,Fy)が"最大の勾配の方向"を与える理由を書きます。

F(x,y)を全微分すれば、
  dF = Fxdx + Fydy = (Fx,Fy)・(dx,dy)
よって,(dx,dy)が(Fx,Fy)と同一方向のとき dF は最大,すなわち (Fx,Fy) は"最大の勾配の方向"を与える.

イメージとしては次のような感じです。
F(x,y) = ax (x方向に傾いた板)では、(Fx,Fy) = (a,0) でx方向を向くベクトル。
F(x,y) = by (y方向に傾いた板)では、(Fx,Fy) = (0,b) でy方向を向くベクトル。
F(x,y) = ax+by (x方向とy方向の傾きを持つ板)では、(Fx,Fy) = (a,b) で斜面の方向を向くベクトル。(ノートか何かを傾けて確認してみるといいかもしれません)
微分可能な曲面は局所的には平面とみなせるから、(Fx,Fy) はその点での"最大の勾配の方向"を与えます。

ところで、ベクトル解析では(Fx,Fy)というベクトルを、grad F とか、∇F と書くのですが、ご存知ないでしょうか…。
もしご存知ないなら、私の説明は分かりにくいかもしれません。
参考までにwikipediaのURLの載せておきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D
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この回答へのお礼

遅れて申し訳ありません。なんとなく分かった気がします。丁寧に教えていただいてありがとうございました!

お礼日時:2006/04/04 02:51

No.3 の者です。

前の説明は、回りくどく書きすぎた気がするので、簡潔に書き直します。
伝えたかったイメージは、例えば、電気力線と等電位面の関係です。
「スカラーポテンシャル場 F(x,y,z) が与えられたとき、F(x,y,z)=0 は等ポテンシャル面、grad F はこの面に垂直」
これだけの事です。証明ではなく、ただの物理的なイメージですのであしからず。
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偏微分が法線ベクトルの成分となる理由を接平面を用いずに直感的に考えてみました。


質問の意図とは違うかもしれませんが、参考になれば幸いです。
厳密な議論ではなく、あくまでイメージを掴むためのお話ですからその点はご了承ください。
(絵を描いて説明できるといいのですが、文章は難しいですね…)

3次元で考えるのは分かりにくいので、まず2次元の場合を考えてみましょう。

z = F(x,y) とします。
x,y平面の各点に応じて高さzが決まると考えます。
地図帳を開いてみれば分かると思いますが、z=一定 は等高線であり、斜面の最も急な向きは等高線に垂直になることがわかります。
斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。
なぜなら、このベクトルは、x方向の勾配が急であるほどx成分が大きくなり、y方向の勾配が急であるほどy成分が大きくなるからです。
以上の議論から、つぎの3つのベクトルの方向が同じであることがわかりました。
1.F(x,y)の値(高さz)が最も変化する方向(最も急な方向、勾配ベクトル)
2.F(x,y)=一定 という陰関数の法線の方向(等高線の法線)
3.(Fx, Fy)

せっかく上のように考えたのですから、簡単な例で確かめてみましょう。
F(x, y) = x^2 + y^2 とします。
1.F(x,y)の値が最も変化する方向 は z=F(x,y) のグラフをイメージすれば分かるように原点から放射状の向き
2.F(x,y)=一定 の法線の方向は、F(x, y)=r^2 は半径rの円だから、円の法線の方向、つまり放射状の向き
3.(Fx, Fy) = (2x, 2y) で放射状の向き

さて、次に3変数関数F(x,y,z)について考えたいのですが、この関数のグラフを描くには4次元が必要なので、少し考え方を変えます。
先ほど、z=F(x,y)とした、高さzの値を、x-y平面の各点に直接書き込んでしまいます。
x-y平面に数値がぎっしりと書き込まれている状態をイメージしてください。
この考え方で、先ほどの
F(x, y) = x^2 + y^2 を調べてみたいと思います。
F(x, y)=r^2 は半径rの円だから、x-y平面には、同心円状では同じ数値、原点から離れるほど大きく、原点に近いほど小さい数値が書き込まれています。
さらに、F(x, y)=一定 の法線はx-y平面に書き込んだ数値が最も変化する方向(この場合放射状の向き)を向いています。
つまり、法線の方向は(Fx, Fy) = (2x, 2y)。

これで3変数関数F(x,y,z)について考える準備ができました。いままでのイメージを3次元に拡張しましょう。
F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 とします。
F(x, y, z)=r^2 は半径rの球面だから、x-y-z空間には、同一球面上では同じ数値、原点から離れるほど大きく、原点に近いほど小さい数値が書き込まれています。
さらに、F(x, y, z)=一定 の法線はx-y-z空間に書き込んだ数値が最も変化する方向(この場合放射状の向き)を向いています。
つまり、法線の方向は(Fx, Fy, Fz) = (2x, 2y, 2z)。

F(x,y,z)を一般の関数の場合を考えれば、
F(x,y,z) = c = 一定
という平面は、c の値を増減すれば、ちょうど球面が膨らんだりしぼんだりするのと同じように等高線(面)が変化するので、
その変化の最も大きい方向が法線方向だというイメージができると思います。

この回答への補足

ご丁寧なご回答ありがとうございます。色々考えましたがよく分からないところがあるので質問します。
 
>斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。

ここがよく分かりません。Fx=x-y平面でx方向のみ移動させた時のZの増加率になりますよね。何故これが法線ベクトルのx方向になるかが分かりません。
zの増加率→ベクトル成分(x方向)という 発想の転換が出来ないのです。偏微分を理解していなかったつけが今来ています。頭が固まってしまっているので、簡単なことかもしれませんね。教えてください!どうぞよろしくお願いします!

補足日時:2006/03/28 23:48
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なかなか分かりにくいと思います。


なぜなら、微積とか線形代数の問題ではなくて、幾何の問題だからです。

F(x,y,z)=0という曲面をΣとします。つまり、
Σ = { (x,y,z) | F(x,y,z)=0 }
です。
また、c(t) = (x(t), y(t), z(t))を曲面Σの上にある曲線として、t=0で点Pを通るとしましょう。
すると、dc/dt(t=0)というのは、曲面Σの点Pにおけるある接ベクトルになっています。
そこで、この接ベクトルをわかりやすいように、
dc/dt(t=0) = (X', Y', Z')
としましょう。

曲線c(t)は曲面Σの上にのっているので、F(x(t),y(t),z(t))=0 です。
これをtで微分して、t=0とすると、
Fx*X'+Fy*Y'+Fz*Z'=0     ‥‥‥(☆)
という式がでます。
(X', Y', Z')が曲面Σの点Pにおける接ベクトルでしたから、(Fx, Fy, Fz)はその接ベクトルと直交していることがわかります。

曲線c(t)をいろいろ取り替えると、点Pにおける接ベクトルをいろいろ取り替えることが出来ます。
つまり、どんな接ベクトル(X', Y', Z')ともベクトル(Fx, Fy, Fz)は直交していることになります。
ということは、法線ベクトルの定義から、(Fx, Fy, Fz)は点Pにおける曲面Σの法線であることが判りますね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2006/04/04 02:53

この質問では,


1)接平面の式がなぜこのようになるかが分からない.
2)接平面の式と法線ベクトルの関係が分からない.
3)1),2)両方分からない
のどれかがよく分かりません.
1)については,なんとなくfを全微分すればそんな感じになるように思います.これは微積の教科書に書いてありますよね.
2)がよく分からないように思いましたので,少し詳しく,平面の方程式ax+by+cz=1は平面上の1点(x0,y0,z0)を取ってa(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0となり書き換えて
aX+bY+cZ=0とすると,(a,b,c)・(X,Y,Z)'=0 ('は転置の意味)となる.実際の位置ベクトルは(X,Y,Z)なのでこの式より,これは(a,b,c)に垂直,つまりこれが平面の法線ベクトルになる.これも,私のころは高校の代数幾何でやりました.

この回答への補足

接平面の式の意味は分かります。内積の関係よりaX+bY+cZ=0でXYZの係数が法線ベクトルになることも分かってます。
 ただ偏微分が法線ベクトルになるという イメージが沸かないのです。yzを一定としてFを微分→法線ベクトルのx成分になる ということが腑に落ちないのです。
 接平面の式が導出され、その形から、Fx Fy Fzが係数になるから法線になると考えてよいのでしょうか?

補足日時:2006/03/24 21:19
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1.

φ=x^2+y^2-z=0
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2.

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全微分して
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点P(1,-1,2)の座標を代入
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(英語)
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(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
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(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

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(1)
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(3)
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(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
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ような点のことです。
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A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q2変数関数の連続性

f(x,y)={x^2(x^3+y)}/{x^4+y^2} (原点以外)
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Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
___________________________________

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とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
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>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

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どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
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これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
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Q固有ベクトルが複数の場合

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| 0 1 0 |
|-2 -2 3 |
という行列の固有値と固有ベクトルを求めて対角化せよという問題なんですが、
固有値は1(重解),2というのはわかって、
疑問に思ったのは固有ベクトルのほうなんですが、
解答には固有ベクトルは
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となっていて、最初の二つは1に対する固有ベクトルとなっているんですが、
1に対する固有ベクトルは確かにその2つもあると思うんですが
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(1)
(0)
もある気がするんですがどうなんでしょうか?
1つの固有値に対しては2つ示せば十分なんでしょうか?

Aベストアンサー

1に対する固有値の重複度2ですから固有値の一般形は
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なので、自由度2(任意に選べる変数がa,bの2つ)ですから
が固有ベクトルは2つのみ一次独立です。ですから
固有ベクトルが出来るだけ簡単になるa,bを2通り与えて固有値1に対する
固有ベクトルは2つだけ求めてやれば良いです。
たとえば固有値1に対する固有ベクトルは(a,b)の値を適当に与えてやると固有ベクトルは以下のようにいくつでも出来ますが、どれか簡単そうな2つだけ示せばいいですね。
(a,b)=(1,0)→(1,0,1)
(a,b)=(0,1)→(0,1,1)
(a,b)=(1,-1)→(1,-1,0)
(a,b)=(-1,1)→(-1,1,0)
(a,b)=(2,-1)→(2,-1,1)
(a,b)=(1,1)→(1,1,2)

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面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
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Aベストアンサー

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E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。


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