光のエネルギーE=h(nyuu)=cpという式がありますがpイコール質量かける速さでmcと考えるとE=mc^2となります。
次にE=mv^2/2という式のvにcを代入するとE=mc^2/2になり矛盾が生じてきます。
わたしの考えのどの部分が間違っていてこの矛盾が生じているのでしょうか?
教えてください。

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A 回答 (3件)

光は質量のない粒子ですから、p=mcとかE=mc^2/2とやってはいけません。


E=cpというのはmを静止質量として
E=((cp)^2+m^2・c^4)^(1/2) … (1)
でm=0としたときの式です。
すなわち、E=cpは質量のない粒子に対する式です。
E=hνですから、質量が無くても運動量はp=hν/cで定義できます。
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この回答へのお礼

光は質量を持っていないんですね。
分かりやすい解説をありがとうございます。

お礼日時:2002/02/27 20:53

光については nikorin さんが答えているので蛇足になります。


ご質問では、運動エネルギーを
 K = mv^2/2
とされていますが、
相対論的には
 E = { (cp)^2+(mc^2)^2 }^(1/2)
なので、静止状態で持つエネルギーをさっぴいて
運動エネルギーは
 K = E - mc^2
となります。
ここで、速度が光速に比べて遅いときには、
 K = mc^2*{ 1+(p/mc)^2 }^(1/2) - mc^2
  ≒ mc^2*{ 1+(p/mc)^2/2 } - mc^2
  = p^2/(2m)
というニュートン力学でお馴染みの運動エネルギーに近似されます。  
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この回答へのお礼

全然蛇足ではありません。
”知識”の周りの知識は”知識”をより確実なものにしてくれます。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/27 20:55

E=MC^2


という式の意味は、質量[m]の物体が持つ静止時のエネルギーで、

E=mv^2/2
という式の意味は、質量[m]の物体が速度[v]で動いている時の運動エネルギーですね。

後者にv=cとして代入した
E=mc^2/2
は、質量[m]の物体が光の速度[c]で動いているとした場合の運動エネルギーです。

最初の式が静止時のエネルギー、最後の式が運動エネルギーですから、表わしているエネルギーの種類が違います。

以上。
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この回答へのお礼

お答えありがとうございました。

お礼日時:2002/02/27 20:50

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Q運動エネルギー・位置エネルギーと落下運動

物体を静かに落とした時、地面を基準としたら、落とす直前の運動エネルギーは0,位置エネルギーは最大になり、物体が地面に着いた時、運動エネルギーは最大,位置エネルギーは0になると思います。
では、物体が地面に着いた後のエネルギーはどうなるのでしょうか?
運動エネルギーは速さの2乗に比例しているみたいなので、速さが0になると運動エネルギーも0になるはずです。
しかし、力学的エネルギー保存の法則から運動エネルギーが0になったら位置エネルギーは最大になると思うので、再び運動エネルギーは0,位置エネルギーは最大になるのでしょうか?

Aベストアンサー

物体が地面に着いたとき、 跳ね返り係数 0≦e≦1 で跳ね返ると思います。
e=0 のとき、完全非弾性衝突で物体の跳ね返り速度は 0 になります。
e=1 のとき、完全弾性衝突で、物体ははじめに落とした高さまで跳ね返ります。

e=1 の場合のみ、物体は同じ高さまで跳ね返ります。
地面に着いた瞬間、初速度が反対方向に同じ大きさになるので、運動エネルギーは変わりません。
この場合、永遠に同じ高さまで跳ね返りを繰り返すでしょう。
すなわち、力学的エネルギーは保存します。

0≦e<1 の場合は、地面との接触で、摩擦が発生し、跳ね返りの初速度は、摩擦力による熱エネルギーなどに変換されて小さくなります。
この場合、何度も、跳ね返りを繰り返し、最終的には速度は 0 になります。
そのたびに、摩擦による熱エネルギーなどに変換されます。

結局は、一番初めに持っていた位置エネルギーは摩擦力による熱エネルギーなどに変換されて、運動エネルギーは 0 になります。

Q粒子のエネルギー E=(1/2)mv^2とE=hν

一般的に量子力学などでエネルギーを求める場合、波長λ=h/pよりp=h’k、(h’=h/2π)をE=p^2/(2m)に代入すると、≪E=(h’k)^2/(2m)≫となりますよね。
一方、粒子のエネルギーは【E=hν】とも表されます。速度v、振動数ν、としてv=νλ、λ=(2π)/kより『ν=(kv)/(2π)』となり、またλ=h/pよりmv=h/λとなる。これよりv=(h’k)/mを『』に代入し、さらに【】に代入するとE=(h’k)^2/mとなって、≪≫の式と違います。教科書では≪≫の式ですが、どのような条件で違いが生まれてくるのですか?

Aベストアンサー

> v=νλ
この表式での v は「位相速度」と呼ばれるものです。
量子力学において、波動関数の位相速度は粒子の速度とは一致しないことが知られています。

一方で、「群速度」と呼ばれるものが存在します。
これは、 v_g = ∂ω/∂k (ただしω=2πν)で定義される量です。
いまは ω=E/h'=h'k^2/2m ですから、v_g=h'k/m=p/mとなります。
(一方で位相速度は v=h'k/2mです)

位相速度は、いわば「平面波が移動する速度」です。
群速度は、「波束(空間的に局在した波)が移動する速度」です。
真空中の光などのように位相速度が波長に依らず一定になる場合は位相速度と群速度は一致しますが、
それ以外の場合には位相速度と群速度は異なります。
現実の粒子は波束で表現されると考えられるので、粒子の「速度」に対応するのは群速度の方です。

詳しくは「群速度」で検索してみてください。

Q運動エネルギーについての問題

授業で出された課題でわからないものがあったので、教えてください。

「一次元の運動を考える。
(1)質量mのボールを速度vでまっすぐ投げる。このとき、投げられたボールの運動エネルギーは 1/2 mv2
(2)速度vで走っている電車内に人がいて、その人がボールを持っているとすると、そのボールの運動エネルギーは(1)と同じ 1/2mv2
(3)速度vで走っている電車内で、電車と同じ方向に速度vでボールを投げたら、ボールの運動エネルギーは 1/2 m(2v)2 = 2mv2

どうして、(1)の運動エネルギー+(2)の運動エネルギー=(3)の運動エネルギーとはならないのか?」
という問題がわからなかったので教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。
No2で回答した者です。
ここでは、別の観点から説明します。

  (投げた後のボールの運動エネルギー)=
  (投げる前のボールの運動エネルギー)+(投げる間にボールに対して行った仕事の量)…(**)

上の関係は一般的に成り立つものですが、もう習いましたか? 
これに基づいて、問題を考えてみましょう。

No2と同じく、
 電車の速さを V とし、
 投げた後の電車に対するボールの速さを v とします。

さて、この変化をどの観測者の立場で考えるのか、を明らかにすることが大切です。
ここでは、地上に静止している観測者の立場で考えましょう。
 (投げた後のボールの運動エネルギー)=これがあなたの(3)の運動エネルギーです。
 (投げる前のボールの運動エネルギー)=1/2 mV^2=これがあなたの(2)の運動エネルギーです。
 (投げる間にボールに対して行った仕事の量)=(ボールに加えた力)×(力を加えながらボールを動かした距離)
この仕事の量も、地上の観測者Aと電車中の観測者Bとでは、違った値になるのです。
(ボールに加えた力)は、Aから見ても、Bから見ても、同じ値(Fとする)です。
しかし、(力を加えながらボールを動かした距離)が、
Aから見た値(Daとします)とBから見た値(Dbとします)とでは、
異なります。その間の関係は、

  Da=Db+(ボールに力を加えている間に電車が動いた距離)

です。今は、Aの立場で考えているので、仕事もAから見たものを使う必要があります。その仕事は、力×距離より、
  F×Da=F×Db+F×(ボールに力を加えている間に電車が動いた距離)

さて、電車中の観測者の立場で上の(**)の関係を考えると、
  F×Db=1/2 mv^2=((1)の運動エネルギー)
が得られます。これを上の式に代入すると、
  F×Da=((1)の運動エネルギー)+F×(ボールに力を加えている間に電車が動いた距離)

以上の式を(**)の式に代入すると、

 ((3)の運動エネルギー)=
 ((2)の運動エネルギー)+((1)の運動エネルギー)+F×(ボールに力を加えている間に電車が動いた距離)

となります。
F×(ボールに力を加えている間に電車が動いた距離)の分だけ、違いが生じるということです。
ちなみに、この値は、上の回答No2の「+ mvV」と等しいのです。

こんにちは。
No2で回答した者です。
ここでは、別の観点から説明します。

  (投げた後のボールの運動エネルギー)=
  (投げる前のボールの運動エネルギー)+(投げる間にボールに対して行った仕事の量)…(**)

上の関係は一般的に成り立つものですが、もう習いましたか? 
これに基づいて、問題を考えてみましょう。

No2と同じく、
 電車の速さを V とし、
 投げた後の電車に対するボールの速さを v とします。

さて、この変化をどの観測者の立場で考えるのか、を明...続きを読む

QE = mC^2のEは温度や比熱に無関係か

http://ja.wikipedia.org/wiki/E%3Dmc2 を閲覧しての質問です。

1 Aの銅片は摂氏0゜、質量mとする。
2 Bの銅片は摂氏1゜、質量mとする。
3 Cの純水は摂氏0゜、質量mとする。
4 Dの純水は摂氏1゜、質量mとする。
5 エネルギー・質量保存則とはE =mC^2である。

5によって物質の何たるかに関わらず質量が同一であればエネルギーは等価であると理解しました。
一般に教養書における5の式の説明文では物質の温度や比熱の異同については何も述べずに、いきなりE=mC^2が出てくるように見受けられます。エネルギー・質量保存則では温度や比熱の相違に関わらずA~Dの全てが同じエネルギーをもつのですか。それとも、エネルギー・質量保存則はエネルギーの一部についてのみ述べているのであって熱エネルギーをも含めて考えればDが一番大きなエネルギーをもつのですか。今現在はA~Dの全てが同じエネルギーをもつのだろうと予想しています。
その根拠は
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=215758 のNo.5の回答から
B、Dが摂氏0゜に下がったときには質量がmより減少すると読み取れるからです。このことから質量が同じであれば温度や比熱の相違に関わらず熱エネルギーをも含めて同じエネルギーをもつ、すなわちA~Dの全てが同じエネルギーをもつのだろうと予想しました。この理解は正しいですか、間違っていますか。
よろしく、お願いします。

http://ja.wikipedia.org/wiki/E%3Dmc2 を閲覧しての質問です。

1 Aの銅片は摂氏0゜、質量mとする。
2 Bの銅片は摂氏1゜、質量mとする。
3 Cの純水は摂氏0゜、質量mとする。
4 Dの純水は摂氏1゜、質量mとする。
5 エネルギー・質量保存則とはE =mC^2である。

5によって物質の何たるかに関わらず質量が同一であればエネルギーは等価であると理解しました。
一般に教養書における5の式の説明文では物質の温度や比熱の異同については何も述べずに、いきなりE=mC^2が出てくるように見受けられます。エネル...続きを読む

Aベストアンサー

#2の続きです。

 0℃の1gの水があるとして、その温度を1℃にした時の質量を、
私は、E=mc^2 に従って計算してみました。その値は
 約1.00000000000005g  です。
その差は余りにも小さいので、
普通はこの温度変化をしても、水の質量は変わらないとしているのですね。
 しかし、本当はごくわずかとはいえ、質量は変化していることになります。

Q運動エネルギーと力

運動エネルギーと力の概念の違いが知りたいです。
もちろん公式が違うのはわかるのですが。

運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。

この表現ってあっていますか?

Aベストアンサー

> 運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
> 物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。

答えは「そうではない」のですが、どこが違うのかが知りたいのですよね。
以下に自分なりの説明を試みてみます。

たとえて言うならば
お金持ち=口座残高が多い=金を使いまくる
みたいな等式が成り立ちそうに思ってしまうけれども実際はそうではない、というようなものです。

「運動エネルギー(K)」と「力(F)」は両方とも「運動量(p)」に関係があるのですが、この3つは別のものです。
つまり K と p の間には関係があり、p と F の間にも関係があるのですが、
もちろん K と p は違うものだし、p と F も違うものです。

関係があるけど違うもの、という例は、たくさんあります。
物理の範囲に限ってみても「熱と温度」「電流と電圧と電力」などの例があるし、
円の面積と円周の長さとか、会社の資産と収入や支出とかもそうです。

> 運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
まず「力がある」というのが物理の概念としてはおかしいです。
力というのは「受ける」ものであって「ある(持つ)」ものではありません。
力Fを受けるとは、時間Δtのあいだに運動量pΔtをもらうことを言います。
言わば「寄付を受ける」「年金を受ける」と同じ意味で「力を受ける」と言っているわけです。

もしこれが
「運動エネルギーをもつということは運動量をもつということですよね?」
だったら、それ自体は正しいと言えます。
もちろん「運動エネルギー」と「運動量」が同じという意味ではありません。
運動量はベクトルであるのに対し、運動エネルギーはスカラーであって、性格が根本的に異なるのですから。
しかし「運動エネルギーは運動量の大きさで決まる」ということは言えます。
三角定規の面積は(形が相似なら)底辺の長さで決まる、というのと同じです。

他方、運動量と力の関係は、口座残高と口座取り引きの関係にたとえられます。
さきほどの「年金を受ける」を例に考えてみましょうか。
仮に1年あたり100万円の年金を受けて、それを何にも使わず貯めておいたとすると、
5年たてば500万円の貯金ができるでしょうか?
答えは必ずしもそうとは限りません。
最初に200万円の借金があったら300万円しか貯金できないわけですから。

力というのはこれと似ていて、力を受けると運動量が必ず増えるかというと、そうとも言えません。
もう少し物理的に言うと「力や運動量には向きがある」という点を考慮する必要があります。
大きな慣性をもって東向きに進んでいる物体に、西向きの力を加えたら、
その力はブレーキとして働くわけですから、運動量の大きさはゼロに向かいます。
(もちろん長時間にわたって力を加えつづけたら話は別で、西向きの運動量を生じます。)

このことと、上に書いたこととをあわせて考えると、
> 物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。
とは言えないことが分かります。
力がブレーキとして働く(運動量の大きさを減らす)なら、物体は運動エネルギーを失うわけだし、
また物体が最初から運動しているなら、力など受けなくても物体は運動エネルギーをもつのですから。
(力を受けない物体は等速直線運動を続ける、という慣性の法則を思い出してください。)

では初期状態を静止に決めておいたら、大きな力は大きな運動量を生じるでしょうか?
それもそうとは限らないですよね。
運動量の変化は力の時間的積算量(力積)だから、
力の大きさだけでなく時間の長さも関与するはずです。
100万円の年金を1年もらった場合と、10万円の年金を30年もらった場合を考えてみてください。

以上、式でまとめて書くと
K = p^2 / (2m)
Δp = F Δt
という関係がなりたちますが
「Kはスカラーだがpはベクトル」
「pはFの積算量」
という点に注意して考えれば、K, p, F の違いが理解できると思います。

> 運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
> 物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。

答えは「そうではない」のですが、どこが違うのかが知りたいのですよね。
以下に自分なりの説明を試みてみます。

たとえて言うならば
お金持ち=口座残高が多い=金を使いまくる
みたいな等式が成り立ちそうに思ってしまうけれども実際はそうではない、というようなものです。

「運動エネルギー(K)」と「力(F)」は両方とも「運動量(p)」に関係があるのですが、この3...続きを読む

QE=mc^2に関して

大学受験のため物理を勉強していたときに

E=hν

λ=h/p

が教科書に出てきました。

じーっと見ていると、両式からE=mc^2が導出できるみたい。

・p=mv=mc
・ν=v/λ=c/λ
から

E=hν=hc/λ=hc・(p/h)=cp=c・mc=mc^2



でも、そんなに簡単なはずはない、と思いつつ20年経過。
インターネット全盛の昨今、調べてみるとE=mc^2の導出は大変みたいですね。


では、私の上の導出方法ってどこが間違ってるのでしょうか?
目からウロコみたいなご指摘いただけませんか。

Aベストアンサー

>λ=h/p

ドブロイ波長で考えている速度は、光速よりもはるかに低速だからです。

何故なら
ドブロイ波は物質波とも呼ばれているように、光を扱うものではないからです。

つまり

>・p=mv=mc

ではなく

p=mv<<mcです。


特殊相対性理論では

E^2=m^2c^4+p^2c^2

 だそうです

Q運動エネルギー

運動エネルギーの和は、重心の運動エネルギーと重心に相対的な運動エネルギーの和に等しいことをΣを使って証明できるのですが、2物体とか具体的に数字が出たら原理は、わかるのですが証明はいまいちわかりません。何方か教えてください。

Aベストアンサー

>二個の質点に対してK=KG+K´を証明するときどうすればよいのですか?

ここでの式は次の内容を表しているのですね。文字で表すときは言葉の説明も添えてもらうと分かりやすいです。

>運動エネルギーの和は、重心の運動エネルギーと重心に相対的な運動エネルギーの和に等しい

2物体の場合でいいのですか。

それぞれの式の表現はきちんと出来ていますか。それさえ出来ていれば単なる式の変形ですので難しくはありません。どこでどう引っかかってしまったのかが私にはよく分かりません。私は物体を1と2で区別しました。Σだけでは分かりません。まずここにハードルがあるのではないですか。自分で「ここが引っかかったところだ」と具体的に突き詰めることが出来たらたいていは全部自分で解決できる場合が多いです。ただ全体的に「分からない」と言っている間は「いつまでたっても分からないまま」なのです。

2物体の場合での方針を確認しておきますから文字の意味、式の表現等を改めて確かめてやり直してみて下さい。

(1)2つの物体を区別して表現する。(1,2とかA、Bとかで)
(2)質量、速度の文字を決める。
(3)重心の速度の表現を求める。(2つの物体の速度、質量で表す。)
(4)重心に対する相対速度の表現を求める。
(5)はじめの速度で表した運動エネルギーの和(K)、重心に対する相対速度で表した運動エネルギーの和(K’)の表現を求める。
(6)重心の運動エネルギー(KG)の表現を求める。
   この時の速度は重心の速度、質量は2つの質量の和です。
(7)K=KG+K’を変形で導く。
   右辺から左辺に持っていく方が分かりやすいでしょう。

(7)の質量で間違っていませんか。
#2に重心の速度、重心に対する相対速度の表現は書いてあります。


 

>二個の質点に対してK=KG+K´を証明するときどうすればよいのですか?

ここでの式は次の内容を表しているのですね。文字で表すときは言葉の説明も添えてもらうと分かりやすいです。

>運動エネルギーの和は、重心の運動エネルギーと重心に相対的な運動エネルギーの和に等しい

2物体の場合でいいのですか。

それぞれの式の表現はきちんと出来ていますか。それさえ出来ていれば単なる式の変形ですので難しくはありません。どこでどう引っかかってしまったのかが私にはよく分かりません。私は物体を1と...続きを読む

QE=mc^2について

E=mc^2という式がありますがこの式はどのようにして導出されたのかということと
なぜこの式が原子爆弾に応用できるのかということをどなたか教えてください。
初心者ですので説明が難しい場合はサイトなど教えていただけると助かります。

Aベストアンサー

回答No1の補足です
E= c・|P|という式については以下のURLにわかりやすく記述されています。ご参考まで。

参考URL:http://www.ne.jp/asahi/up/to/soutairon/easy/r15/index.html#5-2-2

Q運動量と運動エネルギーについて

物理における力学で、運動量と運動エネルギーの違いが
分かりません。例えば、質量mのボールが速度vを持っているとき、運動量は m×v 、 運動エネルギーは 1/2mv^2 と定義される。
と教科書には書いてありますが、僕にとっては、運動量も運動エネルギーも、どちらもイメージとしてボールが持つ「勢い」と思えてきて、二つをわざわざ定義する意味というか、根拠が良く分かりません。
定義により、そういうものと決まっている、約束する、
と言われればそれまでなのですが、運動量と運動エネルギーの持つ物理学的な意味は何なのでしょうか。

Aベストアンサー

あまり難しいこともいえないので定性的な面で見てみます。

運動量はradioswimmerさんのいうようにボールの勢いと考えても悪くないように思います。重要なのは運動量がベクトル量、つまり向きと大きさを持った量だということです。習ったかと思いますが、「速さ」とは違って「速度」は向きと大きさを同時に表している、数学のベクトルと同じものです。(ベクトルのままでは計算しにくいので物理で扱うvはスカラー量になっていることが多いですが、その際は必ず日本語で『~方向に速度vで運動する・・・』というように向きが明示してあるはずです)運動量がmvであるというときのvは「速度」すなわちベクトルですから、mvはベクトルの実数倍、vと向きが同じで大きさがm倍のベクトルを表すのです。運動量mvとは「質量mの物体がベクトルvの向きに速さ|v|(絶対値)で動いている」ことを表しているのです。

それに対してエネルギーはスカラー量、つまり向きを持ちません。なぜならベクトルvが二乗されているからです。ベクトルの二乗は大きさの二乗を表す(内積を考えてください)ので、vの二乗が含まれる運動エネルギーが向きの情報を持たないのは式からもわかります。大切なのは運動エネルギーが「エネルギー」だということでしょう。熱「エネルギー」や重力「エネルギー」と同じカテゴリーに属していて、それらすべてでエネルギー保存が成り立っています。運動量ではこうはいきません。

わかりにくいですね^^;すいません

あまり難しいこともいえないので定性的な面で見てみます。

運動量はradioswimmerさんのいうようにボールの勢いと考えても悪くないように思います。重要なのは運動量がベクトル量、つまり向きと大きさを持った量だということです。習ったかと思いますが、「速さ」とは違って「速度」は向きと大きさを同時に表している、数学のベクトルと同じものです。(ベクトルのままでは計算しにくいので物理で扱うvはスカラー量になっていることが多いですが、その際は必ず日本語で『~方向に速度vで運動する・・・』という...続きを読む

QE=mc^2

物質は、光速を越えられないとすると、運動エネルギーの
極限値は、E=1/2MC^2 と考えられますが、質量
欠損のエネルギー、E=MC^2の半分と言う事なんですが
何か関連性はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

「運動エネルギーの極限値は (1/2)mc^2 と考えられますが」というのは間違いです.
静止質量 m の物体が速度 v で運動するとします.
この物体の静止質量エネルギーは mc^2.
速度 v で運動するときの質量は m/√(1 - (v^2/c^2)) で, これに相当する質量エネルギーは mc^2/√(1 - (v^2/c^2)).
この差が「運動していることで増加したエネルギー」で,
mc^2 (1/√(1 - (v^2/c^2)) - 1).
これは v → c の極限で当然ながら∞に発散します.
ちなみに v << c のもとで第1項を展開すれば (1/2)mv^2 となります.


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