波動関数と平面波

波動関数φ(x,y,z,t)を下の平面波の式の様にあらわすことができるのはなぜでしょうか？
なぜ波数ベクトル、位置ベクトルで位相がわかるのでしょうか？

φ＝Ae^i(kr-ωt)

※k,rはベクトルです

教えてくださいお願いします。

No.1 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/07/13 09:05

シュレディンガー方程式の結果だからです。

(以下、hはhバーです。)
ih∂ψ/∂t=Hψ　の解が、ψ=Ae^i(kr-ωt)です。
ご質問の場合、ハミルトニアンHとしてポテンシャルのない自由粒子を想定してます。
ψの固有解を、X(x)T(t)のように変数分離のようになっていることを仮定し、X(x)T(t)を式に代入すると、
ih(dT/dt)X(x)=THX(x)
右辺のようになるのは、HはX(x)にしか演算しないからです。
上の式の両辺を、X(x)T(t)で割ると
ih(1/T)dT/dt=(1/X)HX(x)
この式は、左辺と右辺で変数が異なるのに、等しいとなっているので、この両辺は定数(Eとします)でなければならず
結局、ih(1/T)dT/dt=E,HX(x)=EX(x)という二つの式
が得られます。tに関する式の解は
T(t)=e^-iEt/h≡e^-iωt　(E=hω
xについては自由粒子のハミルトニアン；H=p^2/2m
=-(h^2/2m)d^2/dx^2を代入し、解を求めると
X(x)=e^ikxとなります　[(hk)^2/2m≡E]

各次元について全く同じことが成り立つから、それらの積をとれば3次元の場合は、e^ik・rとなります。
kとrが何故位相をあらわすかというと
指数関数のかたに乗っているからです。
オイラーの公式よりe^ix=cosx＋isinxですよね。
ですからかたのxは角度(位相）ということです。

k・rというのは、ある原点からrの位置に引いたベクトルの、波の進行方向への射影です。波数ベクトルというのは、大きさは2π/λですけど、この量は何をあらわしているかというと、空間の単位長さ当たりに含まれる波の数：1/λに、2πをかけたものです。これは、
つまり空間を単位長さ進む時に、位相がどれだけ
回転するか(進むか)をあらわします。
k・r=(2π/λ)rcosθという量は、原点からrのところ
までに、位相がどれだけ進んでいるかをあらわします。詳しくは、以下を参照してください。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2146247

この回答への補足

なぜkrからωtを引くのでしょうか？

またkrからωtを引かない式もあるのですがなぜでしょうか？

教えてくださいお願いします

補足日時：2006/07/14 19:33

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/07/15 10:10

変数分離系のシュレディンガー方程式を解くとそうなるからです。

ih(1/T)dT/dt=(1/X)HX(x)=Eを、tについて解いてみてください。

(1/T)dT/dt=-iE/h⇒dT/T=-iEdt/h⇒logT=-iEt/h
⇒T(t)=e^-iEt/h≡e^-iωt (E=hω)
これは、ハミルトニアンが時間に依存しない限り
調和振動子だろうが、自由粒子だろうが、何でも
このtの部分の関数は変わりません。

もう一つの式、(1/X)HX(x)=Eを解きます。
解くと言っても、Hが具体的に指定されないと
解けませんが、ご質問のような波動関数が得られるのは、自由粒子：H=p^2/2mの場合なので、それを解きます。HX=EX⇒-(h^2/2m)d^2X/dx^2=EX
⇒X=e^i(√2mE)x/h≡e^ikx (k=(√2mE)/h
よって、ψ=XT=e^ikx・e^-iωt=e^i(kx-ωt)
というのが自由粒子の波動関数です。

e^ikxとしかあらわさない場合があるのは、
e^-iωtの部分を省略しているだけです。時間に依存する部分は、独立に解けていてe^-iωtと分かっている
からです。
今は一次元の場合で考えましたけど、3次元になっても
それぞれの成分について変数分離でとくだけで、結局
e^ik1x,e^ik2y,e^ik3zの積になるから
波動関数はe^i(k1x＋k2y＋k3z)=e^ik・rとなります。
それにやはり時間因子e^-iωtがかかります。
なぜ、波動関数が波の式になるかというと、
シュレディンガー方程式という『波動方程式』
を満たす関数だからです。
以下も参考になるかと思います。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2152885