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電気量を一定に保ったまま、平行板コンデンサー間の距離を変化させると、極板間引力は極板間距離に関係なく一定と、問題集の答えに書いてあるんですが理由が分かりません。
極板間距離が大きくなると極板間引力は小さくなるイメージがあるのですが・・・・・

A 回答 (3件)

教科書に電場の様子を表す写真とか図はありませんでしたか。

電気力線の分布のパターンを示す図です。点電荷の場合は広がっていく図ですが平行板の場合は極板に垂直になっていませんでしたか。離れると力が小さくなるというのは電気力線が放射線状に広がっていく場合です。平行で有れば力は変化しません。電界の向き、大きさが一定ということです。
コンデンサーの容量の式、C=εS/dの分母のdはこの結果を用いています。電界一定ですから電位差は電界×距離になります。
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理想的な(電極端の影響が無い、無限平板と同様に扱える)平行平板電極なら、#1さん回答にあるように、電極間の電束密度(電界強度、電気力線の密度)は電極間の距離によらず一定になります。

(電束が電極から垂直に出るため)

実際の電極では、電極端部で電束(電気力線)が外側にふくらみます。

電極間隔が電極の大きさよりも充分に短い場合には、電極端部での乱れの影響は小さいのですが、電極間隔が大きくなってくると、端部の影響を無視できなくなります。この領域になると、#2さん回答にもあるように、電極間隔が広がると吸引力が下がるようになるかと。
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この場合の並行板というのは無限に広さを想定しているからじゃないかな?



もし有限の広さの板なら、いくら広い板でも離れていくにつれ、だんだん極板間引力は小さくなってゆくと思います。 

私も素人なので自信はないですが、いままで私はそのように理解してきました。
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Qコンデンサー極板間引力でFΔxは、なぜF一定が前提?

コンデンサーの極板間引力を求めるとき、
    ΔU=FΔx
というのをよく目にします。
しかし、求める前の段階ではFが一定かは不明なのでは?と考え、
          x+Δx
    ΔU=∫     F(x)dx
           x
とした方が正しいように思えます。でも、高校生の私には解けません。
いったいどのように求めるのが正しいのか理由とともに教えてほしいです。
 (上の考察は、Δxは微小な量で、コンデンサーは電荷+Qと-Q、極板間距離は初めx 、誘電率ε、面積はSで十分大きい、でやってます。)

Aベストアンサー

siegmund と申します.
大学で物理の研究と教育をやっています.

平行平板コンデンサーについては,理想的な場合は内部の電場 E は極板間距離によりません.
したがって極板間引力 F も極板間距離によりません.
だから,単に掛け算で FΔx でよい,というのが nsz さんのご回答で,
今の問題に関しては全くその通りです.

では,もし F が x に依存するようだったら(つまり,F(x) となっていたら)どうするのか?
お手上げか?
いやいや,そのときも F(x)Δx でいいのです.
x は考えている場所での x です.

そういえば,他の話で場所に依存する場合も F(x)Δx のように書いているのを見たことがあるぞ.

以下,そのことを説明しましょう.
大変重要な内容を含んでいます.

F(x) の原始関数を G(x) と書きましょう.
当然
(1)  G'(x) = F(x)
ですね.
そうすると
(2)  ΔU = ∫{x→x+Δx} F(x) dx = G(x+Δx) - G(x)
です.
(2)の右辺はどこかで見たような式の一部分ですよね.
そう,微分操作の定義
(3)  G'(x) = lim{Δx→0} { G(x+Δx) - G(x)}/Δx
の一部分です.
つまり,Δx が十分小さいときは
(4)  G(x+Δx) - G(x) = G'(x) Δx
のように思ってよろしい.
(4)を(2)に代入して(1)を使えば,めでたく
(5)  ΔU = F(x)Δx
になります.

(3)はいいとして,(4)のように書いて本当によいのか?
実は
(4')  G(x+Δx) - G(x) = G'(x) Δx + G''(x) (Δx)^2/2 + ・・・
であることが知られています.
こういう展開をテーラー展開と呼んでいます.
(4')を使えば,(5)に相当する式は
(5')  ΔU = F(x)Δx + F'(x) (Δx)^2/2 + ・・・
になりますが,Δx が十分小さいと思えば右辺第1項だけとれば十分で,
結局(5)に帰着します.

なお,Δx が小さいと言っても,ゼロとしてしまっては何も残りません.
いくらでも小さくできるが有限であってゼロではない,と思うところが大事です.

こういう考え方は,曲線と x 軸の間の面積を求めるときにも使われています.
最も単純な長方形なら,面積は (高さ)×(幅).
幅方向に動いていくときに高さが変わったらどうするか?
幅を十分小さくしてΔxにしてその部分の短冊型の面積が f(x) Δx,
これをすべてのΔx について足しあわせて ∫ f(x) dx を曲線下の面積とするわけです.
短冊型の面積を ∫{x→x+Δx} f(x) dx とはしませんね.

まとめると,
【微小な量に関して最低次の寄与を拾い出す】
というのが最も重要なところです.

なかなか本にはこういうふうに書いてはありませんね.

なお,上の話は数学的厳密さは犠牲にして直感的にわかりやすく説明しました.

siegmund と申します.
大学で物理の研究と教育をやっています.

平行平板コンデンサーについては,理想的な場合は内部の電場 E は極板間距離によりません.
したがって極板間引力 F も極板間距離によりません.
だから,単に掛け算で FΔx でよい,というのが nsz さんのご回答で,
今の問題に関しては全くその通りです.

では,もし F が x に依存するようだったら(つまり,F(x) となっていたら)どうするのか?
お手上げか?
いやいや,そのときも F(x)Δx でいいのです.
x は考えている場所での x ...続きを読む

Qコンデンサーの極板間を広げると静電エネルギーが増え

http://nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/hokkaido/zenki/butsuri/mon2.html

なぜでしょうか。減るような気がするのですが。

Aベストアンサー

こんにちは。

Vo: 充電したときの電圧
V1: 広げたときの極板間の電圧
d: 極板間の距離
Δd: 広げる距離
S: 極板間の距離
ε: 誘電率
Q: 両電極にたまった電荷
Uo: 充電したときの静電エネルギー
U1: 広げたときの静電エネルギー

充電直後は、
Q = (εS/d)・Vo

スイッチを切っているので、間隔を広げてもQは変わりません。
Q = (εS/(d+Δd))・V1

よって、
(εS/d)・Vo = (εS/(d+Δd))・V1
V1 = Vo(d+Δd)/d

静電エネルギーは、電荷に電圧をかけたものなので、

Uo = QVo = (εS/d)・Vo^2

U1 = QV1 = (εS/d)・Vo・(Vo(d+Δd)/d)
 = (εS/d)・Vo^2・(d+Δd)/d
 = Uo・(d+Δd)/d

というわけで、たまった電荷が一定のもとでは、静電エネルギーはΔdが大きくなるほど大きくなります。

これは、重力とのアナロジーがあります。
物体が地面から高くなるごとに位置エネルギーは増えますが、重力は距離の2乗に反比例するので、位置エネルギーが増える方向と引力が増える方向は逆になります。
正負が逆の電荷どうしの電荷を引き離すと、引力は減りますが、位置エネルギーに相当する静電エネルギーは増えます。
手を放すと二体は引き合いますが、あらかじめ離していた距離が遠いほど、衝突するときの衝撃は強くなります。なぜならば、たまっていたエネルギーが大きいからです。

こんにちは。

Vo: 充電したときの電圧
V1: 広げたときの極板間の電圧
d: 極板間の距離
Δd: 広げる距離
S: 極板間の距離
ε: 誘電率
Q: 両電極にたまった電荷
Uo: 充電したときの静電エネルギー
U1: 広げたときの静電エネルギー

充電直後は、
Q = (εS/d)・Vo

スイッチを切っているので、間隔を広げてもQは変わりません。
Q = (εS/(d+Δd))・V1

よって、
(εS/d)・Vo = (εS/(d+Δd))・V1
V1 = Vo(d+Δd)/d

静電エネルギーは、電...続きを読む

Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Qコンデンサーに誘電体を挿入するときの引力

直流電源に繋がれたコンデンサーの間に、
底面積がコンデンサーの金属板より小さく、高さがコンデンサーの間隔と等しい直方体形の誘電体を横から入れていく時、
(1)誘電体がコンデンサーからはみ出ている時は、
 コンデンサーの中に引き入れられる向きに引力を受けますが、
(2)誘電体が完全にコンデンサーの中に入っている時は、
 その位置が右に偏っていようが左に偏っていようが、(合力としては)引力も斥力も生じないそうです。
少し難しめの物理の問題集(大学受験用)にそう書かれていました。
問題としては、この現象を数学的に解析させるもので、
それを見ればこの現象が起こるのはわからないでもないのですが、
これをコンデンサーの金属板と誘電体の表面の電荷から考えると、どうも納得できません。

(1)
□□□□□□□□□□□□□ ←コンデンサー
□+□+□+□+□+□+□
             ■-■-■■■
             ■■■■■■■ ←誘電体
             ■■■■■■■
             ■+■+■■■
□-□-□-□-□-□-□
□□□□□□□□□□□□□

この図のような(誘電体がコンデンサーからはみ出ている)時、
コンデンサーの左側の表面電荷と、誘電体の誘電分極による表面電荷が引力を及ぼしあうから、
誘電体はコンデンサーの中心向きに引力を受けるというのはわかります。
しかし、

(2)
□□□□□□□□□□□□□
□+□+□+□+□+□+□
 ■-■-■-■
 ■■■■■■■
 ■■■■■■■
 ■+■+■+■
□-□-□-□-□-□-□
□□□□□□□□□□□□□

この図のような時、
誘電体から見て左側より右側の方がコンデンサーの表面電荷が多く存在するから、
誘電体は右側に引き寄せられる気がします。
この考え方はどこが間違っているのでしょうか?

直流電源に繋がれたコンデンサーの間に、
底面積がコンデンサーの金属板より小さく、高さがコンデンサーの間隔と等しい直方体形の誘電体を横から入れていく時、
(1)誘電体がコンデンサーからはみ出ている時は、
 コンデンサーの中に引き入れられる向きに引力を受けますが、
(2)誘電体が完全にコンデンサーの中に入っている時は、
 その位置が右に偏っていようが左に偏っていようが、(合力としては)引力も斥力も生じないそうです。
少し難しめの物理の問題集(大学受験用)にそう書かれていました。
問題として...続きを読む

Aベストアンサー

重要な点を見落としています。
それは誘電体を入れる前とあとでコンデンサの
電荷の分布が変化しないとしている点です。
誘電体を入れる前は、電荷の分布がほぼ一様です。
誘電体を入れると誘電体のある部分に電荷が集中し、
誘電体が無い部分の電荷はほとんど無くなります。
これは電極の電荷によって誘電体の電極面に電荷が現れますが、
逆にこの電荷によっても電極の電荷も引き寄せられるからです。
このため、誘電体は右には引き寄せられません。

□ □ □ □ □ □ □ □ □
□+□+□+□+□ □ □ □ □
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■ ■ ■ ■ ■
■+■+■+■+■
□-□-□-□-□ □ □ □ □
□ □ □ □ □ □ □ □ □

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Qコンデンサの極板間の電界の大きさについてなのですが、極板間の距離をd、面積をSとするとガウスの定理よ

コンデンサの極板間の電界の大きさについてなのですが、極板間の距離をd、面積をSとするとガウスの定理よりE=Q/(εS)なので電界の大きさはQの大きさによりのみ決まると勉強しました。

そして平行平面コンデンサの場合、Q一定なのでコンデンサ内の電界の大きさはどこも同じと勉強しました。

そこで質問なのですが、
V=Ed
の公式がありますがこれは極板間のある一点を考えた場合、E一定でdは下の極板を基準としてるのである一点から下の極板までの距離をdに代入するという事でしょうか。(一番下はd=0なのでV=E×0=0)

そしてEについて考えると
E=V/d
となり、電界の大きさはどこも同じでQによりのみ決まるのに電位、下の極板までの距離に関係するとなります。
これは何故でしょうか

Aベストアンサー

>電荷のみによるのに電位、距離にも影響するというのが
>よく分かりません

??

Vがdに比例すれば、Qがー定なら、Eは変化しませんよね。
何も問題ないのでは?


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