命題？必要十分条件？

こんばんわ。
私は、高３です。
高３なのに、こんなことも分からないで恥ずかしいのですが、
教えてください。
まず、「命題である」と「命題でない」の違いが
よく分かりません。
例えば、
「３．１４は円周率πのよい近似値である」というのは
なぜ命題じゃないのですか？

次に必要十分条件についてなんですが、
X＝2は X２乗－５X＋６＝０であるための必要十分条件だと
思ったのですが、
なぜちがうのでしょうか？
X２乗－５X＋６＝０
はX=２を解にもつので真じゃないですか？
X＝２のとき、X２乗－５X＋６＝０は成立するということは
すぐに分かるんですが。

教えてください。

No.3 回答者： hir0masa 回答日時： 2006/12/12 10:09

こんにちは♪

まず「命題」とは簡単に言うと「正しいか正しくないか（真か偽か）、誰でも同じ判断ができること」と認識していれば問題ないですよ☆

例えば「隣のクラスは美人の集まりである」ってゆうのも、人によって美人の判断基準がちがいますよね。つまり判断が人によって違うので、命題ではないわけです。

さらに必要十分条件に関しては

「Ｐ⇒Ｑ」が真のとき、これを「ＰはＱの十分条件」または「ＱはＰの必要条件」と言います。（主語がＰなのかＱなのかの違い）

「Ｐ→Ｑ」は「Ｑ←Ｐ」と書いても間違いではないので、主語がどちらになっているかに注意です！

そして必要十分条件とは「Ｐ→Ｑ」と「Ｐ←Ｑ］がともに成り立つときのことを言います。

あとは前の回答者さんの通りだと思います。

No.2 回答者： j-mayol 回答日時： 2006/12/12 04:50

必要条件、十分条件についてのみ回答します。

必要条件十分条件は矢印で考えると分かりやすいと思います。
矢印は「ならば」のことです。
ｘ＾２－５ｘ＋６＝０→ｘ＝２,ｘ＝３であって決して
ｘ＾２－５ｘ＋６＝０→ｘ＝２ではないですよね。
矢印の先にあることが成り立つならそれは必要条件といっていいです。
ですからｘ＝２、ｘ＝３はｘ＾２－５ｘ＋６＝０の必要条件です。
しかしｘ＝２は必要条件とは言えません。
逆に
ｘ＝２→ｘ＾２－５ｘ＋６＝０は成り立ちますよね。
矢印の根元にあるのが十分条件です。
よってｘ＝２はｘ＾２－５ｘ＋６＝０であるための十分条件ではあるが
必要条件ではないのです。

No.1 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2006/12/11 18:23

> 「３．１４は円周率πのよい近似値である」というのは

・3.14 じゃ、良いとは言えない。3.1416 ぐらい欲しい　
・3.14 で良い。3 よりもよっぽどいい
という意見の違いが出てきて、「正しい」とか「間違い」とか決定できないからです。これに対して、「円周率は３である」というのは、誰に聞いても「間違い」だから、命題といいます。

また、真偽がはっきりすればいいので、
・3.14 は、円周率の良い近似値である。ただし、「良い」とは、誤差が 0.02 よりも小さいことである。
というように、「良い」のはっきりした基準が示してあれば、真偽がはっきりするので、命題といえます。

さらに、「円周率の１００億桁目は１である」というのも、簡単に求められないから「どちらかわからない」のですが、求めてみれば、真偽が決まるので命題です。

最初の、「良い近似である」は、真偽がわからないので命題ではないというのと、円周率の１００億桁目は１であるというのが、（やってみないと）真偽がわからないというのは、意味が違うので、この点はちょっと注意。

> X＝2は X２乗－５X＋６＝０であるための必要十分条件だと
思ったのですが、

x=3 もこの方程式の解になりますよね？（暗算だけど）
つまり、x=2 でなくてもこの方程式は満たされるので、x = 2 である必要はありません（つまり、必要条件ではない）
しかし、x=2 なら、方程式は満たされます。つまり、X = 2なら、それで十分です（十分条件）