Ｘ、Ｙ座標上にある２点間の円弧の距離

Ｘ、Ｙ座標上にある２点間の円弧での距離を求める方法を教えてください。
例：Ａ点（５、１０）、Ｂ点（１０、５）とした場合のＡ、Ｂ間の円弧の距離はいくつになりますか？回答宜しくお願いします。

No.10 ベストアンサー 回答者： mmky 回答日時： 2002/10/02 17:07

回答は出ていますので考え方の補足まで、

原点（X,Y)=（0,0)とする円の方程式は（1）で与えられます。
X＾2+Ｙ＾2＝ｒ＾2　・・（1）
与えられた２点は円弧の上にありますから
(X1,Y1)=(5,10)
(X2,Y2)=(10,5)
どちらかを代入すれば半径が得られます。
半径ｒ＝√（5＾2+10＾2）＝√（125）
＝5√5
命題は、与えられた２点間の円弧の長さを求める問題ですね。
そこで、円弧の２点と中心（0,0）を3点としてできる三角形を考えます。
当然,この三角形は二辺の長さ（円の半径）を（5√5）とする
二等辺三角形になります。
他の１辺の長さは、二点間の直線距離ですから
二点間の直線距離の式（2）を利用します。
（ピタゴラスの定理の変形を利用します。）
√｛（X1-X2)＾2+（Y1-Y2)＾2｝・・（2）
二点間の直線距離は、√((-5)＾2+5＾2）＝√50＝5√2
になります。これで３つの辺の長さがわかりました。
この二等辺三角形の頂角Θがわかれば円弧の長さが
わかります。
求め方(1)
そこで、二等辺三角形の頂点から垂線を引いて
同じ直角三角形を２個つくれば、
長辺が5√5、短辺が（5√2/2）の直角三角形ができます。
垂線の長さはピタゴラスの定理により
√｛（5√5）＾2-（5√2/2）＾2｝で求まります。
=√（125-50/4）＝（5・3√2）/2
これから3辺の比が　（√10：3：１）がわかります。
これから求める二等辺三角形の頂角Θは、
この三角形の頂角の２倍として、アークtanで表すと、
Θ=2×arctan(1/3)
となり、Θをラジアンにすれば円弧の長さは以下で求まります。
2πｒ×（2×arctan(1/3)）/2π
＝（5√5）×（2×arctan(1/3)）
＝（10√5）arctan(1/3)
ちなみに角度Θは、36.87度になります。
（角度での答えは＃5さんにあります。）
求め方(2)
三角形の余弦定理を使う場合
角度Θの二辺A,Bに挟まれた一辺の長さCは以下の式です。
C＾2=Ａ＾2+Ｂ＾2-2ABcosΘ
これを使えば、二辺A=B＝5√5、C=5√2ですので
50＝250-250cosΘ, 50/250＝0.20＝1-cosΘ
cosΘ＝0.8 からΘ＝arccos(0.8) で出ます。
角度をラジアンにすれば
円弧の長さは以下で求まります。
2πｒ×（arccos(0.8)）/2π
＝（5√5）×（arccos(0.8)）
以上　補足まで

この回答へのお礼

回答有難うございました。今後とも宜しくお願いします。

お礼日時：2002/11/06 08:42

No.9 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/02 16:38

>sinθ＝sin(Β－α）＝からがわかりません。

以下の公式の説明宜しくお願いします。
>sinΒcosα－cosΒsinα
>＝cos^2α－cos^2Β＝ 4/5- 1/5 = 3/5 = 0.6

sin（βーα）＝sinβcosα－cosβsinα　(*)
というのは、三角比の加法定理そのものです。

この式の少し上で
sinα＝cosβ、sinβ＝cosα
ということを示しましたので、これを(*)に代入してcos だけにした訳です。すると
sin（βーα）＝sinβcosα－cosβsinα＝cosαcosα－cosβcosβ
となりますね。同じものを2回かけているわけですから、2乗です。
だから
＝cos^2α－cos^2Β と続くわけです。
※cos^2α＝（cosα）^2 の意味です。
cos^2α－cos^2Β＝ 4/5- 1/5 この等号は単に計算だけですが、
cos^2α－cos^2Β＝ (2√5/5)^2-(√5/5)^2
＝ 2^2・(√5)^2/5^2 - (√5)^2/5^2
＝ 4・5/25 - 5/25 = 4/5 - 1/5
となります。

この回答への補足

何回も回答ありがとうございます。
sin（βーα）＝sinβcosα－cosβsinα　(*)
上記の三角比の加法定理以外に知っておくと便利な定理はありますか？
今回もこの定理が頭にないと解けなかったわけですよね？？
あと数学初心者でも三角比や円弧についてわかるような参考書を知っていたら教えてください。以上宜しくお願いします。

補足日時：2002/10/02 17:03

No.8 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/02 14:33

> ＞２√５、５、√５という値はどうやって求めた値ですか？

sinとcosの定義は大丈夫でしょうか。

>x軸上の１点をＰ（x座標は正）とします。
このＰをＢからｘ軸におろした垂線の足とすると
△ＢＯＰで#7さんのかかれているとおり
cosα=OP/BO　となります。　また、sinα＝BP/BO です。

このときＢ（１０，５）なので、Ｐ（１０，０）となります。
よって　OP＝１０、BP＝５です。
残るBOは三平方の定理から
BO＝√(OP^2+BP^2)＝√(10^2+5^2)＝√125＝5√5です。
その他も同様です。

No.7 回答者： TK0318 回答日時： 2002/10/02 13:25

＞２√５、５、√５という値はどうやって求めた値ですか？

こういう問題は図を書いた方がいいです。
すると∠ＢＯＰ＝αの三角形を考えると三辺の比
BO:OP:PB=√5:2:1
なので
cosα=OP/BO=2/√5=2√5/5
です。
もう一つも同様。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
sinθ＝sin(Β－α）＝からがわかりません。以下の公式の説明宜しくお願いします。
sinΒcosα－cosΒsinα
＝cos^2α－cos^2Β＝ 4/5- 1/5 = 3/5 = 0.6

補足日時：2002/10/02 15:57

No.6 回答者： ranx 回答日時： 2002/10/02 11:15

初心者を混乱させるのはよくないかな．．．。

本当はね、円の中心が決まっても長さは決まらないんですよ。
円を時計の向きに回る場合と逆の向きに回る場合とありますからね。
一番有効なのは弧の中心角です。それが分かれば、中心の座標は
分からなくとも（というか２つの候補のどちらかに決まってしまうんですが）
弧の長さは求まります。円周角でもいいですね。
半径（または直径）とか円の曲率（難しいかな？）とかが分かっても
やっぱり円は２つの候補に絞られます。時計回り・反時計回りの違いが
分からないというのは残ってしまいますけどね。

以上、雑談として聞き流して下さい。

No.5 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/02 10:54

円の中心Ｃ（0,5)の場合は#4さんの仰るとおりです。

ＣＡ＝５√２,ＣＢ＝５　になっちゃいますから。

円の中心Ｃ＝原点Ｏ(0,0)の場合
ＯＡ＝ＯＢ＝5√5　です。（これが半径）
次に∠ＡＯＢを考えます。
x軸上の１点をＰ（x座標は正）とします。
このとき
∠ＢＯＰ＝α、∠ＡＯＰ＝Β、∠ＡＯＢ＝θとすると
θ＝Β－αであり、また、α＋Β＝90°であることが分ります。
今
cosα＝(2√5)/5、cosΒ＝√5/5　であり、
sinα＝sin(90-Β）＝cosΒ[＝√5/5]　
sinΒ＝sin(90-α）＝cosα[＝(2√5)/5]
なので、
sinθ＝sin(Β－α）＝sinΒcosα－cosΒsinα
＝cos^2α－cos^2Β＝ 4/5- 1/5 = 3/5 = 0.6
です。よって、三角比表から　θ≒37°です。

よって
円弧ＡＢ＝2π・5√5・(θ/360)
≒10√5π・(37/360) = 37√5π/36
となります。

この回答への補足

回答ありがとうございます。途中までは理解できたのですが
cosα＝(2√5)/5、cosΒ＝√5/5 というあたりから？です。２√５、５、√５という値はどうやって求めた値ですか？再度回答宜しくお願いします。

補足日時：2002/10/02 12:54

No.4 回答者： TK0318 回答日時： 2002/10/02 10:24

円の中心（０，５）でＡ点（５、１０）、Ｂ点（１０、５）を通る円なんて書けませんよ＾＾；

（OAとOBの長さが違う）
円の中心が（０、０）なら書けますが。

絶対円の中心はこの場合y=x上にあるのですから。

＃３の方の言う通り数学のセンスないようで・・・

No.3 回答者： pixis 回答日時： 2002/10/02 10:10

これだけだとなんぼでも円は書けてしまうでしょ！

こういうのを数学のセンスっていうんです。
感覚的に捕らえることも必要なんです。

問題見た時、この情報でどういうふうに円が書けるかなって
考えてみることも大事なんです。

もっと基本的なことになると、小学生の頃算数や理科で文章題の問題が出ますよね。
答えは誰でも間違うことがあります。
しかし、あり得ない答えを書く子と、惜しい！って言う答えを書く子がいます。

あり得ないというのは
例えば歩く速さを問う問題でアホな子は答えを４７ｋｍ／ｈなんて書いたりします。
頭のイイコは（まちがった）計算の結果同じ答えが出たとしても
歩く速さだぞ！そんなのありえねーだろ！って感覚でわかる子がいて
すぐに計算やり直します。
結果的に間違ったとしてもだいたい人間の歩く速さになっています。

まあ、そういう感覚的に鈍いものがあったら、いきなり計算せずにこの情報で
どんな円が書けるか書いてみることが大切です。

No.2 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/02 10:05

#1さんの仰るとおり、円の中心が必要ですが、方針だけ。

（ただし、これは正攻法なのでもっとやり易い方法があるかも知れません。）
(1)円の中心ＣとＡ，Ｂの座標から円の半径を導く。
　 円の式を導いても良いし、もっと簡単にＣＡ＝ＣＢからも出せますね。
(2)∠ＡＣＢ（扇の中心角）を求める。
角度そのものでなく、三角比でも良い。
(3)半径と中心角が分れば、円弧の長さも計算できますね。
　
　

No.1 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/10/02 09:38

円の中心が分からなければ決まりません. (未知数が残る.)

この回答への補足

そうなんですか・・・では、円の中心を（０、０）とした場合と（０、５）とした場合ではどうなるのでしょうか？回答宜しくお願いします。

補足日時：2002/10/02 09:56