No.3ベストアンサー
- 回答日時:
「u=x+y,v=y」の置換後、D→E:{(u,v)|u^2+v^2≦1},dxdy=dudv
更に「u=r cosθ,y=r sinθ」の置換後
E→F:{(r,t)|0≦r≦1,-π≦θ≦π},dudv=rdrdθ
となり
積分は
∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdt
={∫[r:0,1] (r^5)dr}*{2∫[t:0,π] (cosθ)^4 dθ}
と書き換えることができます。
No.5
- 回答日時:
>>どうしてそんなコトがわかるの?補足にどうぞ。
> 説明不足ですいません。問題に変数変換を用いて解くよう指定がありました
普通に積分計算ができるまで、そんな指定は無視しておけばよい。
>>そして普通に計算してみたのかも補足にどうぞ
> 積分区間がよくわからずできませんでした…
積分範囲は自分で D:{(x,y)|x^2+2xy+2y^2≦1} と書いとるじゃろ?
とにかくまずは y を固定だ。すると x の積分範囲は x^2 + 2xy + 2y^2 <= 1 を x について解いた
(x+y)^2 <= 1-y^2 つまり -√(1-y^2) - y <= x <= √(1-y^2) - y だ。
これが「x の積分範囲として意味がある場合」を考える。
当然√の中身がゼロ以上でなくてはいかん。 1-y^2 >= 0
逆に√の中身がゼロ以上であれば x の積分範囲は有効だ。
与式 = ∫_{y | 1-y^2 >= 0} ∫_{ x | -√(1-y^2) - y <= x <= √(1-y^2) - y } (x+y)^4 dxdy
= ∫_{y | 1-y^2 >= 0} { 2(√(1-y^2))^5/5 }dy
んで結局 y = sin θなどと置いてみるわけさ。立派に置換積分じゃ。
この回答へのお礼
お礼日時:2008/01/31 02:28
yを固定して範囲を考える…
基本的な考え方だったと思うんですが
自分にはまだ定着していませんでした。
これを参考に自分でも手を動かしてやってみます。
ありがとうございました!
No.4
- 回答日時:
#3です。
積分変数の転記ミスの訂正です。
>積分は
>∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdt
∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdθ
として下さい。
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