∇・∇×Ａ=0などの恒等式の球座標系での証明について。ベクトル解析

初質問です。
大学で電磁気について学んでいます。
授業において直角座標系で
∇・∇×Ａ＝divrotＡ＝０・・・(1)
∇×∇φ＝rotgradφ＝０・・・(2)
※Ａ＝Ａxi＋Ａyj＋Ａzk
　φ・・・スカラ
の証明をしました。
ここで疑問に思ったことがあり、球座標系で(1)、(2)の証明はどのようにやるのかということです。
自分で試みたのですが、計算の方法がイマイチ分からず、ネットや参考書で探してみたのですが見つかりませんでした。
どなたかご指導お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#57316 回答日時： 2008/04/17 14:55

x=r・sinθ・cosφなどと極座標で表わしておき

dx、dy、dzのそれぞれをdr、dθ、dφで表わします。
dx=sinθ・cosφdr+r・cosθ・cosφdθ-r・sinθ・sinφdφ　のように。

そして、∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)より、
∂/∂r、∂/∂θ、∂/∂φを∂/∂x、∂/∂y、∂/∂zで表わします。

逆行列を取ると
∂/∂x、∂/∂y、∂/∂zが∂/∂r、∂/∂θ、∂/∂φで表わされます。

（1）については、
∇×Ａ
=｜　　i　　　　　j　　　　　k　　 |
｜∂/∂x　∂/∂y　∂/∂z｜
｜　Ax 　　　Ay 　　　　Az 　|
の∂/∂x、∂/∂y、∂/∂zに∂/∂r、∂/∂θ、∂/∂φで表わしたものを
代入し、その結果に∂/∂r、∂/∂θ、∂/∂φで表わした∇・を作用させ
れば∇・∇×Ａが求まります。

（2）も同じように、∂/∂x、∂/∂y、∂/∂zを∂/∂r、∂/∂θ、∂/∂φで
表わすことにより求められます。

この回答へのお礼

これを参考に解いてみたところ証明することができました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/04/20 21:37

No.2 回答者： Meowth 回答日時： 2008/04/17 18:44

∇=grad=er∂/∂r+eθ1/r∂/∂θ＋eφ1/(rsinθ)∂/∂φ

∂er/∂θ=eθ
∂eθ/∂θ=-er

∂er/∂φ=eφsinθ
∂eθ/∂φ=eφcosθ
∂eφ/∂φ=-ersinθ-eθcosθ
に注意して
内積∇・　外積∇×Ａ　スカラー積∇φ
を計算するだけ。
ただし、
∇×Ａ
=｜　　er　　　　reθ　　　　　(rsinθ)eφ　　 |
１/(r^2sinθ)｜∂/∂r　∂/∂θ　∂/∂φ｜
｜　Ar 　　　rAθ 　　　　(rsinθ)Aφ 　|
のほうが簡単

この回答へのお礼

かなり参考になりました。
おかげで解くことができました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/04/20 21:39