マンガでよめる痔のこと・薬のこと

[1]放物線y=x^2上に異なる4点A(-1,1)B(2,4),P(p,p^2),Q(q,q^2)がある。
-1<p<2のとき次の問いに答えなさい

(1)ΔABPの面積をpの式で表しなさい。
pの値が何なのかわからないのに、どうやったら式が求められるのかわかりません。

(2)2点P,Qは直線y=3x+a上にあり、ΔABPとΔABQの面積が等しい。
(i)点Qは直線ABに関して点Pと同じ測にないなぜか。
(i)を証明するためには背理法を使うことはわかるのですが、実際にそのような背理法を使う問題を見たことがないのでよくわかりません。助けてください

(ii)a,p,qの値を求めなさい
これは全然わかりません。


どうかこの問いを解くヒントを教えてください

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A 回答 (3件)

(1)


ABの式は、y=x+2
Pを通りy軸に平行な直線とABの交点をC とすると、
C P=p+2-p^2(C 点のy座標からP点のy座標を引く)
これを底辺とすれば△APCの高さと△BPC の高さの
合計は3なので、△ABPの面積は底辺×高さの合計÷2です。

(2)
QがPと同じ側にあるとすれば、△ABP=△ABQより
PとQは同じ点になるか、PQを結ぶ線がABと平行になるはず。
が、ABの傾きは1であるから、PQの傾き3と一致しませんね。

△ABQの面積は、さっきの△ABPと同じようにしても
よいし、QをABに平行になるようにy軸上に平行移動して
その点(0,q^2-q)を求めても 底辺q^2-q-2、高さの合計が3。
よって面積が等しいから、-p^2+p+2=q^2-q-2→p^2+q^2-p-q=4(1)
また、
PQの傾きは(q^2-p^2)/(q-p)=3から、p+q=3(2)
点Pはy=3x+a上の点なので、p^2=3p+a(3)
(1)(2)からp,qを求めて(3)。

この回答への補足

ありがとうございます
すごくわかりやすいです。
(1)のΔABPの面積は、(p+2-p^2)×3÷2 であっていますか?

すみません背理法の証明の仕方がわかりません。
(2)に書いてある内容はだいたい解るのですが、それをどのように表せばよいのかがわかりません。

補足日時:2008/05/04 22:24
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(1)はもちろん分数の形で、p^2→p→定数項の順に並べかえ


たらいいかな。

(2)
QがABに関してPと同じ側に「ない」、を「ある」として
その矛盾をいえばいいわけです。
以下のことがらを、ことばを補いながら自分で書きましょう。

QがABに関してPと同じ側にあるとする。

△ABP=△ABQと底辺がABで共通するから高さは等しい
PとQは同一点であるか、AB//PQ
前者は問題の「異なる4点」に反する
後者はABの傾き1、PQの傾き3で、ABとPQ
 は平行でないということに反する

以上より、QはABに関してPと同じ側にはない。
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この回答へのお礼

ありがとうございました
ほとんど答えあっていました。
それにしてもこれは難しい問題でした。
ついでにこれは灘高校の入試問題です。

お礼日時:2008/05/10 09:57

なんでグラフをかかないの?


#逆にいえば書いてわからないなら,そう明記すべきレベルの問題
#一度削除されてるけども,これも削除されそうだなあ

>pの値が何なのかわからないのに、どうやったら式が求められるのかわかりません。
pの値が分からなくたって,式はでてくる.

>(i)を証明するためには背理法を使うことはわかるのですが
これもグラフを書けば当たり前なんだけどな.
底辺の等しい三角形で面積が同じってことは高さが同じってこと
高さが同じってことは,
頂点を結んだ直線が底辺と平行になるか
頂点が「反対側」にあるかってことだ.

(ii)はやさしい.
ちょろっと計算すればでてくる
三角形は同じ面積なんだからここでpとqの式が一本
PQが傾き3の直線にあるんだからこれでpとqの式が一本
連立方程式ででてきて,切片のaはでてくる.
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